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에르미트 연산자 📂양자역학

에르미트 연산자

정의

연산자 AA가 다음의 식을 만족하면 에르미트 연산자Hermitian operator라고 한다.

A=A† A = A^{\dagger}

이때 A†A^{\dagger}는 AA의 켤레 전치이다.

설명

A†A^{\dagger}는 [에이 대거(A dagger)]라고 읽고, dagger는 단검을 의미한다.

프랑스 수학자 Hermite에르미트의 이름을 딴 것이다. 영어식으로는 허미션 연산자라고 읽는다.

양자역학에서 등장하는 모든 연산자는 에르미트 연산자이다.

수학에서 복소 켤레의 표기법은 a+ib‾\overline{a+ib}이고, 켤레 전치의 표기법은 A∗A^{\ast}이다. 물리학에서는 ∗\ast의 의미를 복소 켤레에 한정지어 설명하는 경우가 많고, A†=(AT)∗A^{\dagger} = (A^{T})^{\ast}라고 표현하기도 한다. 하지만 디랙 표기법을 생각해보면 물리학에서 사용하는 ∗\ast에도 '켤레 + 전치' 두 의미가 모두 포함되어 있다는 것을 알 수 있다. 즉 물리학에서는 복소 켤레의 표기법과 켤레 전치의 표기법을 중복으로 ∗\ast라고 쓴다. ∗\ast가 붙은 대상이 스칼라라면 복소 켤레를, 행렬이나 벡터라면 켤레 전치를 의미하는 것이다. ∗\ast를 켤레 전치가 아닌 복소 켤레로만 생각하면 행벡터, 열벡터가 헷갈려 행렬곱을 할 때 실수할 수 있으니 꼭 다음과 같이 기억하자.

∗=\ast = 켤레 ++ 전치 =†=\dagger

성질

  1. 에르미트 연산자의 기댓값(고유값)은 항상 실수이다.

  2. 에르미트 연산자의 서로 다른 두 고유함수(고유벡터)는 직교한다.

  3. 에르미트 연산자 AA에 대해서 다음의 식이 성립한다.

    ⟨Aψ∣ϕ⟩=⟨ψ∣Aϕ⟩ \left\langle A\psi|\phi \right\rangle = \left\langle \psi|A\phi \right\rangle

  4. 두 에르미트 연산자A,BA,B의 곱 ABAB가 에르미트 연산자일 조건은 [A,B]=0[A,B]=0이다.

  5. 임의의 연산자 AA에 대하여 아래의 식은 항상 에르미트 연산자이다.

    A+A†i(A−A†)AA† A+A^{\dagger} \\ i(A-A^{\dagger}) \\ AA^{\dagger}

증명

3

두 행렬 A,BA, B에 대해서, (AB)†=B†A†(AB)^{\dagger} = B^{\dagger}A^{\dagger}이므로,

⟨Aψ∣ϕ⟩=∫(Aψ)†ϕdx=∫ψ†A†ϕdx=⟨ψ∣A†ϕ⟩=⟨ψ∣Aϕ⟩ \begin{align*} \langle A\psi|\phi \rangle &= \int(A\psi)^{\dagger}\phi dx \\ &= \int \psi^{\dagger} A^{\dagger} \phi dx \\ &= \langle \psi|A^{\dagger}\phi \rangle \\ &= \langle \psi|A\phi \rangle \end{align*}

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