📂기하학

미분기하학에서 곡면의 넓이

정의¹

$\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$를 곡면의 좌표조각사상이라고 하자. 곡면 위의 어떤 영역 $\mathscr{R} \subset \mathbf{x}(U)$의 넓이^area를 다음과 같이 정의한다.

$$ \begin{align*} A(\mathscr{R}) &:= \int\int_{\mathbf{x}^{-1}(\mathscr{R})} [\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \mathbf{n}] du^{1}du^{2} \\ &= \int\int_{\mathbf{x}^{-1}(\mathscr{R})} \sqrt{g} du^{1}du^{2} \end{align*} $$

이때 $(u^{1}, u^{2})$는 $U$의 좌표, $\mathbf{x}_{i} = \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u^{i}}$는 $i$번째 좌표에 대한 편미분, $[\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \mathbf{n}]$는 스칼라 삼중곱, $g$는 제1 기본형식 계수 행렬의 행렬식이다.

설명

이때 $\sqrt{g} du^{1}du^{2}$를 넓이 요소^{area element}라 부르고, $dA$라 표기한다. 가우스 곡률 $K$와 같이 곡면 위에서 정의된 함수에 대해서, 다음과 같은 표기법을 쓰기도 한다.

$$ \iint_{\mathscr{R}} K dA := \iint_{\mathbf{x}^{-1}(\mathscr{R})} K(u^{1}, u^{2}) \sqrt{g} du^{1} du^{2} $$