📂힐베르트공간

여러가지 함수공간

정의

함수들의 집합 $X$가 벡터공간이면 $X$를 함수공간^{function space}이라 한다.

설명

함수공간 $X$에서 내적은 다음과 같이 적분으로 정의된다.

$$ \langle f, g \rangle = \int f(x) g(x) dx,\quad f,g\in X $$

주요하게 다루는 함수 공간으로는 다음의 것들이 있다.

• 연속함수공간 $C^{m}$

  $$ C^{m}(\mathbb{R}) : =\left\{ f \in C(\mathbb{R}) : f^{(n)} \text{ is continuous } \forall n \le m \right\} $$

  • 테스트함수공간 $C_{c}^{\infty} = \mathcal{D}$
  • 슈바르츠공간 $\mathcal{S}$
  • 횔더연속함수공간

• 르벡공간 $L^{p}$

  $$ L^{p} (E) : = \left\{ f : \int_{E} | f |^{p} dm < \infty \right\} $$

  • 가중르벡공간

• 수렴 수열 공간 $\ell^{p}$

• 소볼레프공간 $W^{m,\ p}$

  $$ W^{m,\ p}(\Omega):=\left\{ u \in L^p(\Omega)\ :\ D^\alpha u \in L^p(\Omega),\ 0\le |\alpha | \le m \right\} $$

같이보기

• 위상수학에서의 함수공간