📂행렬대수

가역행렬일 동치 조건

정리¹

$A$를 크기가 $n\times n$인 정사각행렬이라고 하자. 그러면 아래의 명제는 모두 동치이다.

(a) $A$는 가역행렬이다.

(b) 동차 선형 시스템 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$는 오직 자명해만을 갖는다.

(c) $A$의 기약 행사다리꼴 이 $I_{n}$이다.

(d) $A$는 기본행렬의 곱으로 표현가능하다.

(e) $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$는 모든 $n\times 1$ 행렬 $\mathbf{b}$에 대해서 해를 갖는다.

(f) $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$는 모든 $n\times 1$ 행렬 $\mathbf{b}$에 대해서 오직 하나의 해를 갖는다. 즉 $\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$가 성립한다.

(g) $\det (A) \ne 0$

(h) $A$의 열 벡터들이 선형 독립이다.

(i) $A$의 행 벡터들이 선형 독립이다.

(j) $A$의 열 벡터들이 $\mathbb{R}^{n}$을 생성한다.

(k) $A$의 행 벡터들이 $\mathbb{R}^{n}$을 생성한다.

(l) $A$의 열 벡터들이 $\mathbb{R}^{n}$의 기저이다.

(m) $A$의 행 벡터들이 $\mathbb{R}^{n}$의 기저이다.

(n) $A$의 랭크가 $n$이다.

(o) $A$의 무효 차수가 $0$이다.

(p) $A$의 영공간의 직교여공간이 $\mathbb{R}^{n}$이다.

(q) $A$의 행공간의 직교여공간이 $\left\{ \mathbf{0} \right\}$이다.

(r) $T_{A}$의 치역이 $\mathbb{R}^{n}$이다.

(s) $T_{A}$가 일대일 함수이다.

(t) $A$의 고유값 중에 $0$이 존재하지 않는다.

(u) $A^{T}A$가 가역이다.

(v) $T_{A}$의 커널이 $\left\{ \mathbf{0} \right\}$이다.

증명

(a) $\iff$ (b) $\iff$ (c) $\iff$ (d)

(a) $\iff$ (e) $\iff$ (f)