산술평균과 기하평균 조화평균사이의 부등식
정의
$n$ 개의 양수 ${x}_{1},{x}_{2},\cdots,{x}_{n}$ 에 대해 산술, 기하, 조화평균은 다음과 같다.
- 산술평균 : $$ \sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { {x}_{k} }{ n } }=\frac { {x}_{1}+{x}_{2}+\cdots+{x}_{n} }{ n } $$
- 기하평균 : $$ \prod _{ k=1 }^{ n }{ { {x}_{k} }^{ \frac { 1 }{ n } } }=\sqrt [ n ]{ {x}_{1}{x}_{2}\cdots{x}_{n} } $$
- 조화평균 : $$ \left( \frac { \sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ {x}_{k} } } }{ n } \right)^{-1}=\frac { n }{ \frac { 1 }{ {x}_{1} }+\frac { 1 }{ {x}_{2} }+\cdots+\frac { 1 }{ {x}_{n} } } $$
정리
이에 대해 다음의 부등식이 성립한다.
$$ \frac { {x}_{1}+{x}_{2}+\cdots+{x}_{n} }{ n }\ge \sqrt [ n ]{ {x}_{1}{x}_{2}\cdots{x}_{n} }\ge \frac { n }{ \frac { 1 }{ {x}_{1} }+\frac { 1 }{ {x}_{2} }+\cdots+\frac { 1 }{ {x}_{n} } } $$
설명
고등학생이라면 한번쯤은 산술-기하평균 이라는 말을 듣게 되는데, 그게 어떤 명칭이라고 딱 꼬집어서 나오지는 않고, 보통은 ‘산술기하’라는 약칭으로 구전되는 게 보통이다. $n=2$ 인 경우에 대해서는 증명도 간단하고 고등학교 수준의 문제풀이에도 유용하게 쓰인다. 고등학생 수준에서 일반적인 증명은 지저분한 식을 건드려야하는 수학적 귀납법을 쓸 수밖에 없는데, 그보다는 어렵지만 세련된 증명을 소개한다.
증명
전략: 다음의 보조정리를 사용한다.
젠슨 부등식: $f$ 가 컨벡스 함수고 $E(X) < \infty$ 일 때, 다음의 부등식이 성립한다. $$ E{f(X)}\ge f{E(X)} $$
산술-기하
$f(x)=-\ln x$ 라 하면 $f$ 는 구간 $(0,\infty )$ 에서 컨벡스 함수다. 확률 변수 $X$ 가 확률질량함수
$$ p(X=x)=\begin{cases}{1 \over n} & , x={x}_{1},{x}_{2}, \cdots ,{x}_{n} \\ 0 & , \text{그 이외의 경우}\end{cases} $$
를 갖는다고 하자. 그럼 $E(X)$ 는
$$ \frac { {x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n} }{ n }<\infty $$
이므로 유한하다. 이로써 젠슨의 부등식에서 필요한 조건을 모두 만족시켜 다음을 얻는다.
$$ E(-\ln X)\ge –\ln E(X) $$
여기서 좌변은
$$ \begin{align*} E(-\ln X)&=-E(\ln X) \\ &=-\frac { 1 }{ n } \sum _{ k=1 }^{ n }{ \ln{x}_{k} } \\ &=-\frac { 1 }{ n }\ln \prod _{ k=1 }^{ n }{ {x}_{k} } \\ &=-\ln { \left( \prod _{ k=1 }^{ n }{ {x}_{k} } \right) }^{ \frac { 1 }{ n } } \\ &=-\ln\prod _{ k=1 }^{ n }{ { {x}_{k} }^{ \frac { 1 }{ n } } } \end{align*} $$
우변은
$$ \begin{align*} -\ln E(X)=-\ln\frac { 1 }{ n }\sum _{ k=1 }^{ n }{ {x}_{k} } \end{align*} $$
이를 다시 정리하면
$$ \begin{align*} -\ln\prod _{ k=1 }^{ n }{ { {x}_{k} }^{ \frac { 1 }{ n } } } \ge& -\ln\frac { 1 }{ n }\sum _{ k=1 }^{ n }{ {x}_{k} } \\ \implies \ln\frac { 1 }{ n }\sum _{ k=1 }^{ n }{ {x}_{k} } \ge& \ln\prod _{ k=1 }^{ n }{ { {x}_{k} }^{ \frac { 1 }{ n } } } \\ \implies \frac { 1 }{ n }\sum _{ k=1 }^{ n }{ {x}_{k} } \ge& \prod _{ k=1 }^{ n }{ { {x}_{k} }^{ \frac { 1 }{ n } } } \\ \implies \frac { {x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n} }{ n } \ge& \sqrt [ n ]{ {x}_{1}{x}_{2}…{x}_{n} } \end{align*} $$
■
이로써 산술평균과 기하평균 사이의 부등식이 성립됨을 증명되었다. 이를 이용해서 기하평균과 조화평균 사이의 부등식이 성립함을 증명하자.
기하-조화
$$ \frac { {x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n} }{ n }\ge \sqrt [ n ]{ {x}_{1}{x}_{2}…{x}_{n} } $$
에서 $\displaystyle {x}_{k}=\frac { 1 }{ {y}_{k} }$ 이라 두면
$$ \begin{align*} \frac { \frac { 1 }{ {y}_{1} }+\frac { 1 }{ {y}_{2} }+…+\frac { 1 }{ {y}_{n} } }{ n }\ge \sqrt [ n ]{ \frac { 1 }{ {y}_{1} }\frac { 1 }{ {y}_{2} }…\frac { 1 }{ {y}_{n} } } \\ \implies \frac { 1 }{ \sqrt [ n ]{ \frac { 1 }{ {y}_{1} }\frac { 1 }{ {y}_{2} }…\frac { 1 }{ {y}_{n} } } }\ge \frac { n }{ \frac { 1 }{ {y}_{1} }+\frac { 1 }{ {y}_{2} }+…+\frac { 1 }{ {y}_{n} } } \\ \implies \sqrt [ n ]{ {y}_{1}{y}_{2}…{y}_{n} }\ge \frac { n }{ \frac { 1 }{ {y}_{1} }+\frac { 1 }{ {y}_{2} }+…+\frac { 1 }{ {y}_{n} } } \end{align*} $$
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