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지수 분포와 푸아송 분포의 관계 📂확률분포론

지수 분포와 푸아송 분포의 관계

정리

사건이 일어날 때 걸리는 시간 XkX_{k} 에 대해 Xk∼exp⁡(λ)X_{k} \sim \exp (\lambda) 이면 단위시간 당 발생하는 사건의 횟수 NN 에 대해 N∼Poi(λ)\displaystyle N \sim \text{Poi} (\lambda)

설명

지수 분포와 푸아송 분포의 직관적인 정의를 생각해보자. 지수분포는 어떤 사건이 발생하기까지 걸리는 시간에 관심이 있고, 푸아송분포는 단위 시간 내에 어떤 사건이 몇 번 발생하는지 관심이 있다. 어떤 사건이 일어나는 시간과 사건이 일어나는 횟수에 대해, 두 분포는 한 쪽을 고정시키고 다른 한 쪽에 관심을 가지는 것이다. 가령 exp⁡(λ)\exp (\lambda) 와 Poi(λ)\text{Poi}(\lambda) 의 모수를 λ=1\lambda = 1 이라고 생각해보자. 지수분포를 봤을 땐 사건이 일어날 때까지 단위시간이 걸리는 것이고 포아송분포를 봤을 땐 단위시간당 사건이 한 번 일어난다고 볼 수 있다.

여기서 푸아송 분포의 λ\lambda 가 커진다면 단위시간 당 사건의 발생 횟수가 커지는 것이고 그만큼 사건 한 번이 일어나는 시간은 짧아질 것이다. 이런 의미에서, 지수 분포의 평균 1λ\displaystyle {{1} \over {\lambda}} 와 푸아송 분포의 평균 λ\lambda 는 모수를 표기하는 기호 λ\lambda 를 공유하는 것이 타당하다고 볼 수 있겠다. 많은 교재에서 둘의 모수를 하필 λ\lambda 로 표기하는데 그 이유를 이렇게 생각해보면 받아들이기 쉬울 것이다.

수식적으로는 감마분포와 지수분포가 관계를 가지고 있고 감마분포가 푸아송분포의 관계를 가지고 있으므로 지수분포와 푸아송분포도 어떠한 관계가 있음을 어렵지 않게 짐작할 수 있을 것이다.

증명

감마분포와 지수분포의 관계에 따라 Xi∼exp⁡(λ)  ⟺  Xi∼Γ(1,1λ) X_{i} \sim \exp (\lambda) \iff X_{i} \sim \Gamma (1, {{1} \over {\lambda}} ) 감마분포를 따르는 kk개의 확률변수들을 모두 더하면 Yk=∑i=1kXi∼Γ(n,1λ) Y_{k} = \sum_{i=1}^{k} X_{i} \sim \Gamma (n, {{1} \over {\lambda}} ) 지수분포는 무기억성을 가지고 있으므로 YiY_{i} 와 YjY_{j} 는 독립이고 YkY_{k} 는 단순히 kk 번째 사건이 일어난 시각을 나타냄을 알 수 있다. 한편 Yk\displaystyle Y_{k} 의 누적확률분포함수를 FkF_{k} 라고 하면 Fk(1)=1−∫1∞1Γ(k)1λkxk−1e−λxdx F_{k}(1) = 1 - \int_{1}^{\infty} { {1} \over {\Gamma (k) {{1} \over {\lambda ^ k}} }} x^{k-1} e^{-\lambda x} dx 정리하면 Fk(1)=1−∫1∞λkΓ(k)xk−1e−λxdx F_{k}(1) = 1 - \int_{1}^{\infty} { { \lambda^{k} } \over {\Gamma (k) }} x^{k-1} e^{-\lambda x} dx λx=z\lambda x = z 으로 치환하면 λdx=dz\lambda dx = dz 이므로 Fk(1)=1−∫λ∞zk−1e−zΓ(k)dz F_{k}(1) = 1 - \int_{\lambda}^{\infty} { { z^{k-1} e^{- z } } \over {\Gamma (k) }} dz 감마분포와 푸아송 분포의 관계에 따라 Fk(1)=1−∫λ∞zk−1e−zΓ(k)dz=1−∑y=0k−1λye−λy! F_{k}(1) = 1 - \int_{\lambda}^{\infty} { { z^{k-1} e^{-z} } \over { \Gamma (k) } } dz = 1 - \sum_{y=0}^{k-1} { { {\lambda}^{y} e^{-\lambda} } \over {y!} } YkY_{k} 는 kk 번째 사건이 일어난 시각이므로 단위 시간 11동안 사건이 정확히 nn 번 일어날 확률은 YnY_{n} 이 11보다 작거나 같고 Yn+1Y_{n+1} 이 11 보다 클 확률과 같다. P(N=n)=P(Yn≤1∧Yn+1>1)=P(Yn≤1)P(Yn+1>1)=P(Yn≤1)(1−P(Yn+1≤1))=P(Yn≤1)−P(Yn≤1)P(Yn+1≤1)=P(Yn≤1)−P(Yn≤1∧Yn+1≤1)=P(Yn≤1)−P(Yn+1≤1)=Fn(1)−Fn+1(1)=(1−∑y=0n−1λye−λy!)−(1−∑y=0nλye−λy!)=λne−λn! \begin{align*} P(N = n) =& P( Y_{n} \le 1 \land Y_{n+1}>1 ) \\ =& P( Y_{n} \le 1 ) P ( Y_{n+1}>1 ) \\ =& P( Y_{n} \le 1 ) \left( 1 - P ( Y_{n+1} \le 1 ) \right) \\ =& P( Y_{n} \le 1 ) - P( Y_{n} \le 1 ) P ( Y_{n+1} \le 1 ) \\ =& P( Y_{n} \le 1 ) - P( Y_{n} \le 1 \land Y_{n+1} \le 1 ) \\ =& P( Y_{n} \le 1 ) - P( Y_{n+1} \le 1 ) \\ =& F_{n}(1) - F_{n+1}(1) \\ =& \left( 1 - \sum_{y=0}^{n-1} { { {\lambda}^{y} e^{-\lambda} } \over {y!} } \right) - \left( 1 - \sum_{y=0}^{n} { { {\lambda}^{y} e^{-\lambda} } \over {y!} } \right) \\ =& { { {\lambda}^{n} e^{-\lambda} } \over {n!} } \end{align*} 이는 모수가 λ\lambda 인 푸아송 분포의 확률 질량 함수이므로, N∼Poi(λ)N \sim \text{Poi} (\lambda)

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