📂추상대수

추상대수학에서의 반군

정의 ¹

마그마 $\left< S, *\right>$ 의 원소 $a,b,c$ 에 대해, $(a \ast\ b) \ast\ c = a \ast\ (b \ast\ c)$ 면 $\left< S, *\right>$ 를 반군^semigroup이라고 정의한다.

설명

반군이란 연산이 결합법칙을 만족하는 마그마다.

항등원이나 역원은 존재할 필요가 없고, 오직 결합법칙만 성립하면 된다. 결합법칙을 만족하는지 증명하기 쉬운가 하는 문제와는 별개로, 폐쇄성 다음으로 결합법칙이 논의되는 것은 상당히 당연하다고 할 수 있다. 연산이 있는데 결합법칙도 없다? 이쯤되면 대수적으로 어느정도 의미를 가지면서 반군이 되지 않는 경우를 찾는 것이 힘든 정도다.

마그마가 되면서 반군이 되지 못하는 예시를 하나 보자.

집합 $S = \left\{ a,b,c \right\}$ 에 대해서 마그마 $\left< \mathscr{P}(S) , \setminus \right>$ 는 반군이 아니다.

• $$( \left\{ a,b,c \right\} \setminus \left\{ a \right\} ) \setminus \left\{ b \right\} = \left\{ b,c \right\} \setminus \left\{ b \right\} = \left\{ c \right\} $$
  인데 $$ \left\{ a,b,c\right\} \setminus ( \left\{ a \right\} \setminus \left\{ b \right\} ) = \left\{ a,b,c\right\} \setminus \left\{ a \right\} = \left\{ b, c \right\}$$
  이므로
  $$( \left\{ a,b,c\right\} \setminus \left\{ a \right\} ) \setminus \left\{ b \right\} \ne \left\{ a,b,c\right\} \setminus ( \left\{ a \right\} \setminus \left\{ b \right\} )$$

보시다시피 예시가 상당히 변태적이다. 대수적 구조만을 다룰때가 아니라 이렇게 쉽게 이해할 수 있는 예시는 흔하지 않다. 반면 반군이 되는 경우는 매우 쉽게 찾아볼 수 있다.

마그마 $\left< \mathbb{N} , + \right>$ 는 반군이다.

• 자연수끼리 더하면 자연수이므로, $\left< \mathbb{N} , + \right>$ 는 마그마다.자연수를 더하는 순서는 합계와 상관 없으므로, $\left< \mathbb{N} , + \right>$ 는 반군이 된다.