📂추상대수

추상대수학에서의 반군

정의 ¹

결합법칙

집합 $S$와 이항연산 $\ast : S \times S \to S$가 주어졌다고 하자. 아래와 같은 꼴의 식을 🔒(27/01/06)결합법칙^{associative property}이라 한다.

$$ (a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c) \qquad \forall a, b, c \in S $$

반군

마그마 $\left< S, *\right>$ 의 원소 $a,b,c$ 에 대해, $(a \ast\ b) \ast\ c = a \ast\ (b \ast\ c)$ 면 $\left< S, *\right>$ 를 반군^semigroup이라고 정의한다.

설명

반군이란 연산이 🔒(27/01/06)결합법칙을 만족하는 마그마다.

항등원이나 역원은 존재할 필요가 없고, 오직 결합법칙만 성립하면 된다. 결합법칙을 만족하는지 증명하기 쉬운가 하는 문제와는 별개로, 폐쇄성 다음으로 결합법칙이 논의되는 것은 상당히 당연하다고 할 수 있다. 연산이 있는데 결합법칙도 없다? 이쯤되면 대수적으로 어느정도 의미를 가지면서 반군이 되지 않는 경우를 찾는 것이 힘든 정도다.

마그마가 되면서 반군이 되지 못하는 예시를 하나 보자.

집합 $S = \left\{ a,b,c \right\}$ 에 대해서 마그마 $\left< \mathscr{P}(S) , \setminus \right>$ 는 반군이 아니다.

• $$( \left\{ a,b,c \right\} \setminus \left\{ a \right\} ) \setminus \left\{ b \right\} = \left\{ b,c \right\} \setminus \left\{ b \right\} = \left\{ c \right\} $$
  인데 $$ \left\{ a,b,c\right\} \setminus ( \left\{ a \right\} \setminus \left\{ b \right\} ) = \left\{ a,b,c\right\} \setminus \left\{ a \right\} = \left\{ b, c \right\}$$
  이므로
  $$( \left\{ a,b,c\right\} \setminus \left\{ a \right\} ) \setminus \left\{ b \right\} \ne \left\{ a,b,c\right\} \setminus ( \left\{ a \right\} \setminus \left\{ b \right\} )$$

보시다시피 예시가 상당히 변태적이다. 대수적 구조만을 다룰때가 아니라 이렇게 쉽게 이해할 수 있는 예시는 흔하지 않다. 반면 반군이 되는 경우는 매우 쉽게 찾아볼 수 있다.

마그마 $\left< \mathbb{N} , + \right>$ 는 반군이다.

• 자연수끼리 더하면 자연수이므로, $\left< \mathbb{N} , + \right>$ 는 마그마다.자연수를 더하는 순서는 합계와 상관 없으므로, $\left< \mathbb{N} , + \right>$ 는 반군이 된다.