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정규분포 랜덤벡터 이차형식의 카이제곱성의 동치조건 📂수리통계학

정규분포 랜덤벡터 이차형식의 카이제곱성의 동치조건

정리

샘플 X=(X1,⋯ ,Xn)\mathbf{X} = \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right) 이 X1,⋯ ,Xn∼iidN(0,σ2)X_{1} , \cdots , X_{n} \overset{\text{iid}}{\sim} N \left( 0, \sigma^{2} \right) 와 같이 iid로 정규분포를 따른다고 하자. 랭크가 r≤nr \le n 인 대칭행렬 A∈Rn×nA \in \mathbb{R}^{n \times n} 에 대해 랜덤벡터 이차형식을 Q=σ−2XTAXQ = \sigma^{-2} \mathbf{X}^{T} A \mathbf{X} 라 두면, 다음이 성립한다. Q∼χ2(r)  ⟺  A2=A Q \sim \chi^{2} (r) \iff A^{2} = A 다시 말해, QQ 가 카이제곱분포 χ2(r)\chi^{2} (r) 를 따른다는 것의 동치조건은 AA 가 멱등행렬이라는 것이다.

설명

이 정리는 호그-크레이그 정리의 증명와 코크란 정리의 증명에 쓰인다.

증명

정규분포 랜덤벡터 이차형식의 적률생성함수: 샘플 X=(X1,⋯ ,Xn)\mathbf{X} = \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right) 이 X1,⋯ ,Xn∼iidN(0,σ2)X_{1} , \cdots , X_{n} \overset{\text{iid}}{\sim} N \left( 0, \sigma^{2} \right) 와 같이 iid로 정규분포를 따른다고 하자. 랭크가 r≤nr \le n 인 대칭행렬 A∈Rn×nA \in \mathbb{R}^{n \times n} 에 대해 랜덤벡터 이차형식 Q=σ−2XTAXQ = \sigma^{-2} \mathbf{X}^{T} A \mathbf{X} 의 적률생성함수는 다음과 같다. MQ(t)=∏i=1r(1−2tλi)−1/2=det⁡(In−2tA)−1/2,∣t∣<1/2λ1 M_{Q} (t) = \prod_{i=1}^{r} \left( 1 - 2 t \lambda_{i} \right)^{-1/2} = \det \left( I_{n} - 2 t A \right)^{-1/2} \qquad , | t | < 1 / 2 \lambda_{1} 여기서 In∈Rn×nI_{n} \in \mathbb{R}^{n \times n} 은 항등행렬, det⁡\det 는 행렬식이다. λ1≥⋯≥λr\lambda_{1} \ge \cdots \ge \lambda_{r} 은 AA 의 00 이 아닌 고유값을 일반성을 잃지 않고 내림차순으로 나열한 것이다.

MQ(t)=∏i=1r(1−2tλi)−1/2 M_{Q} (t) = \prod_{i=1}^{r} \left( 1 - 2 t \lambda_{i} \right)^{-1/2} QQ 의 적률생성함수 MQ(t)M_{Q} (t) 는 위와 같다.

(  ⟹  )(\implies)

카이제곱 분포의 적률 생성 함수: 자유도 rr 인 카이제곱분포를 따르는 확률변수의 적률생성함수는 다음과 같다. m(t)=(1−2t)−r/2,t<12m(t) = (1-2t)^{-r/2} \qquad , t < {{ 1 } \over { 2 }}

QQ 가 χ2(r)\chi^{2} (r) 를 따른다고 가정하면 QQ 의 적률생성함수는 00 근방의 tt 에서 두가지 폼을 가진다. MQ(t)=∏i=1r(1−2tλi)−1/2=(1−2t)−r/2 M_{Q} (t) = \prod_{i=1}^{r} \left( 1 - 2 t \lambda_{i} \right)^{-1/2} = (1-2t)^{-r/2} 양변에 −1/2-1/2 승을 취하면 다음을 얻는다. ∏i=1r(1−2tλi)=(1−2t)r \prod_{i=1}^{r} \left( 1 - 2 t \lambda_{i} \right) = (1-2t)^{r}

고유값이 00 과 11 뿐인 대칭 실수행렬: 대칭행렬 A∈Rn×nA \in \mathbb{R}^{n \times n} 의 고유값이 모두 00 이거나 11 이면 AA 는 멱등행렬이다.

계수가 복소수인 인수분해는 다항함수는 그 인수분해가 유일하므로 λ1=⋯=λr=1\lambda_{1} = \cdots = \lambda_{r} = 1 이다. 나머지 고유값은 모두 00 이므로 대칭행렬 A∈Rn×nA \in \mathbb{R}^{n \times n} 는 멱등행렬이다.

(  ⟸  )(\impliedby)

멱등행렬의 고유값: 멱등행렬의 고유값은 00 또는 11 뿐이다.

AA 가 멱등행렬이라고 가정하자. 멱등행렬의 고유값은 00 이거나 11 뿐이고, λ1,⋯ ,λr\lambda_{1}, \cdots , \lambda_{r} 은 00 이 아닌 고유값이라 두었으므로 모두 11 이다. QQ 의 적률생성함수는 다음과 같으므로, QQ 는 자유도 rr 인 카이제곱분포를 따른다. MQ(t)=∏i=1r(1−2tλi)−1/2=∏i=1r(1−2t)−1/2=(1−2t)−r/2 \begin{align*} M_{Q} (t) =& \prod_{i=1}^{r} \left( 1 - 2 t \lambda_{i} \right)^{-1/2} \\ =& \prod_{i=1}^{r} \left( 1 - 2 t \right)^{-1/2} \\ =& \left( 1 - 2 t \right)^{-r/2} \end{align*}

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