정규분포 랜덤벡터 이차형식의 카이제곱성의 동치조건
정리
샘플 $\mathbf{X} = \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right)$ 이 $X_{1} , \cdots , X_{n} \overset{\text{iid}}{\sim} N \left( 0, \sigma^{2} \right)$ 와 같이 iid로 정규분포를 따른다고 하자. 랭크가 $r \le n$ 인 대칭행렬 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 에 대해 랜덤벡터 이차형식을 $Q = \sigma^{-2} \mathbf{X}^{T} A \mathbf{X}$ 라 두면, 다음이 성립한다. $$ Q \sim \chi^{2} (r) \iff A^{2} = A $$ 다시 말해, $Q$ 가 카이제곱분포 $\chi^{2} (r)$ 를 따른다는 것의 동치조건은 $A$ 가 멱등행렬이라는 것이다.
설명
이 정리는 호그-크레이그 정리의 증명와 코크란 정리의 증명에 쓰인다.
증명
정규분포 랜덤벡터 이차형식의 적률생성함수: 샘플 $\mathbf{X} = \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right)$ 이 $X_{1} , \cdots , X_{n} \overset{\text{iid}}{\sim} N \left( 0, \sigma^{2} \right)$ 와 같이 iid로 정규분포를 따른다고 하자. 랭크가 $r \le n$ 인 대칭행렬 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 에 대해 랜덤벡터 이차형식 $Q = \sigma^{-2} \mathbf{X}^{T} A \mathbf{X}$ 의 적률생성함수는 다음과 같다. $$ M_{Q} (t) = \prod_{i=1}^{r} \left( 1 - 2 t \lambda_{i} \right)^{-1/2} = \det \left( I_{n} - 2 t A \right)^{-1/2} \qquad , | t | < 1 / 2 \lambda_{1} $$ 여기서 $I_{n} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 은 항등행렬, $\det$ 는 행렬식이다. $\lambda_{1} \ge \cdots \ge \lambda_{r}$ 은 $A$ 의 $0$ 이 아닌 고유값을 일반성을 잃지 않고 내림차순으로 나열한 것이다.
$$ M_{Q} (t) = \prod_{i=1}^{r} \left( 1 - 2 t \lambda_{i} \right)^{-1/2} $$ $Q$ 의 적률생성함수 $M_{Q} (t)$ 는 위와 같다.
$(\implies)$
카이제곱 분포의 적률 생성 함수: 자유도 $r$ 인 카이제곱분포를 따르는 확률변수의 적률생성함수는 다음과 같다. $$m(t) = (1-2t)^{-r/2} \qquad , t < {{ 1 } \over { 2 }}$$
$Q$ 가 $\chi^{2} (r)$ 를 따른다고 가정하면 $Q$ 의 적률생성함수는 $0$ 근방의 $t$ 에서 두가지 폼을 가진다. $$ M_{Q} (t) = \prod_{i=1}^{r} \left( 1 - 2 t \lambda_{i} \right)^{-1/2} = (1-2t)^{-r/2} $$ 양변에 $-1/2$ 승을 취하면 다음을 얻는다. $$ \prod_{i=1}^{r} \left( 1 - 2 t \lambda_{i} \right) = (1-2t)^{r} $$
고유값이 $0$ 과 $1$ 뿐인 대칭 실수행렬: 대칭행렬 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 의 고유값이 모두 $0$ 이거나 $1$ 이면 $A$ 는 멱등행렬이다.
계수가 복소수인 인수분해는 다항함수는 그 인수분해가 유일하므로 $\lambda_{1} = \cdots = \lambda_{r} = 1$ 이다. 나머지 고유값은 모두 $0$ 이므로 대칭행렬 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 는 멱등행렬이다.
$(\impliedby)$
$A$ 가 멱등행렬이라고 가정하자. 멱등행렬의 고유값은 $0$ 이거나 $1$ 뿐이고, $\lambda_{1}, \cdots , \lambda_{r}$ 은 $0$ 이 아닌 고유값이라 두었으므로 모두 $1$ 이다. $Q$ 의 적률생성함수는 다음과 같으므로, $Q$ 는 자유도 $r$ 인 카이제곱분포를 따른다. $$ \begin{align*} M_{Q} (t) =& \prod_{i=1}^{r} \left( 1 - 2 t \lambda_{i} \right)^{-1/2} \\ =& \prod_{i=1}^{r} \left( 1 - 2 t \right)^{-1/2} \\ =& \left( 1 - 2 t \right)^{-r/2} \end{align*} $$
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