📂물리학

로렌츠 변환으로 인한 특수상대성이론의 특징: 동시성 상실

로렌츠 변환의 특징

특수상대성이론에서 두 좌표계 사이의 변환은 고전적인 변환과 다르다. ‘빛의 속도는 어느 관찰자에게나 똑같다’ 라는 점 때문이다. 이러한 조건을 고려하여 유도해낸 것이 로렌츠 변환이다. 로렌츠 변환으로 인해서 고전물리에서는 나타나지 않는 새로운 현상이 세가지 있다.

• 동시성 상실
• 시간 지연
• 길이 수축

동시성 상실

어릴 때 부터 흔히 접할 수 있는 물리 문제 중에 이런게 있다.

"동시에 각자 집에서 출발한 철수와 영희...", "영희가 출발하고 10분 뒤에 출발한 철수가 동시에 집에 도착했다."

여기에서 문제를 푸는데 가장 중요한 개념이 바로 “동시"이다. 동시를 한자로 풀어보면 같을 동同, 때 시時로 같은 시간이라는 뜻이다. 그러면 “두 사건이 동시에 일어나다” 라는 말이 어떤 뜻인지 독자들은 다 알고 있을 것이다. 그런데 상대론적 효과를 고려하면 관찰자가 어떤 상황인지에 따라서 동시는 동시이기도 하고 동시가 아니기도 하다. $A$에게는 동시인 사건이 $B$에게는 동시가 아니고, $B$에게는 동시인 사건이 $A$에게는 아니다. 아래의 그림과 같이 관성 좌표계 $A^{\prime}$이 관성 좌표계 $A$에 대해서 $x$축 방향으로 $v_{0}$의 속도로 등속운동하고 있다고 하자.

$A$계에서 시간 $t=0$일 때 두 사건event이 일어났다고 하자.

원점에서$P =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $x$좌표가 $L$인 곳에서 $Q =\begin{pmatrix} 0 \\ L \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$이 때 두 사건을 $A^{\prime}$계에서 바라보면 어떻게 되는지를 생각해보자. 로렌츠 변환으로 구해보면 다음과 같다.

$$\begin{align*} P^{\prime} &= \begin{pmatrix} \gamma_{0} & -\gamma_{0}\beta_{0} & 0 & 0 \\ -\gamma_{0}\beta_{0} & \gamma_{0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ Q^{\prime} &= \begin{pmatrix} \gamma_{0} & -\gamma_{0}\beta_{0} & 0 & 0 \\ -\gamma_{0}\beta_{0} & \gamma_{0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ L \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{red}{-\gamma_{0}\beta_{0}L } \\ \color{red}{\gamma_{0}L} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align*}$$

빨간색으로 칠해진 곳을 보자. $Q$사건과 $Q^{\prime}$사건을 비교해보면 분명 같은 사건인데도 불구하고 다른 모습이다.$A$계에서 관측한 $Q$사건은 $P$사건과 동시이지만 $A^{\prime}$계에서는 그렇지 않다. 그림으로 보면 이해가 더 쉬울것이다. $A$계와 $A^{\prime}$계에서 두 사건의 세계선은 아래와 같다.

주의해야 할 점은 좌표계의 이동 방향과 수직한 방향으로는 시차가 생기지 않는다는 것이다. 좌표계의 이동방향으로만 시차가 생긴다. 예를 들어 위의 경우에서 $A$계에서 $Q$사건이 $y$좌표가 $L$인 곳에 있다면 $P=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $Q=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ L \\ 0 \end{pmatrix}$이고, $A^{\prime}$계에서 두 사건을 관측하면 다음과 같다.

$$\begin{align*} P^{\prime} &= \begin{pmatrix} \gamma_{0} & -\gamma_{0}\beta_{0} & 0 & 0 \\ -\gamma_{0}\beta_{0} & \gamma_{0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ Q^{\prime} &= \begin{pmatrix} \gamma_{0} & -\gamma_{0}\beta_{0} & 0 & 0 \\ -\gamma_{0}\beta_{0} & \gamma_{0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ L \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ L \\ 0 \end{pmatrix} \end{align*}$$

이 때는 두 사건이 $A$계와 $A^{\prime}$계에서 모두 동시이다.