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잔차제곱합의 그래디언트 📂다변수벡터해석

잔차제곱합의 그래디언트

개요

통계학 및 머신러닝의 많은 회귀문제에서는 다음과 같이 잔차제곱합을 목적 함수로 사용하며, 특히 ff 가 선형결합인 경우 행렬 꼴로 간략하게 표현할 수 있다. RSS=∑k(yk−f(xk))2=∑k(yk−(s0+s1xk1+⋯+spxkp))2=(y−Xs)T(y−Xs)=∥y−Xs∥22 \begin{align*} RSS =& \sum_{k} \left( y_{k} - f \left( \mathbf{x}_{k} \right) \right)^{2} \\ =& \sum_{k} \left( y_{k} - \left( s_{0} + s_{1} x_{k1} + \cdots + s_{p} x_{kp} \right) \right)^{2} \\ =& \left( \mathbf{y} - X \mathbf{s} \right)^{T} \left( \mathbf{y} - X \mathbf{s} \right) \\ =& \left\| \mathbf{y} - X \mathbf{s} \right\|_{2}^{2} \end{align*} 여기에 조금 더 일반화를 더해, 행렬 R∈Rn×nR \in \mathbb{R}^{n \times n} 에 대해 다음과 같은 꼴을 가지는 스칼라 함수의 그래디언트를 유도한다.

공식 1

f(s):=(y−Xs)TR(y−Xs) f \left( \mathbf{s} \right) := \left( \mathbf{y} - X \mathbf{s} \right)^{T} R \left( \mathbf{y} - X \mathbf{s} \right) s\mathbf{s} 에 종속되지 않은 벡터 y∈Rn\mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n} 과 행렬 X∈Rn×pX \in \mathbb{R}^{n \times p}, R∈Rn×nR \in \mathbb{R}^{n \times n} 에 대해 다음이 성립한다. ∂f(s)∂s=−XT(R+RT)(y−Xs) {{ \partial f \left( \mathbf{s} \right) } \over { \partial \mathbf{s} }} = - X^{T} \left( R + R^{T} \right) \left( \mathbf{y} - X \mathbf{s} \right)

유도

전치행렬의 성질: r,s∈Rr,s\in \mathbb{R}이고 A,BA,B는 각각의 경우에서 행렬 연산이 잘 정의되도록하는 크기를 갖는다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

  • (a) 선형성: (rA+sB)T=rAT+sBT\left( rA + sB\right)^{T}=r A^{T} + s B^{T}

벡터와 행렬의 그래디언트: ∂wTx∂w=∂xTw∂w=x \frac{ \partial \mathbf{w}^{T}\mathbf{x}}{ \partial \mathbf{w} } = \frac{ \partial \mathbf{x}^{T}\mathbf{w}}{ \partial \mathbf{w} } = \mathbf{x} ∂∂w(wTRw)=(R+RT)w \frac{ \partial }{ \partial \mathbf{w} }\left( \mathbf{w}^{T}\mathbf{R}\mathbf{w} \right)= \left( \mathbf{R} + \mathbf{R}^{T} \right) \mathbf{w}

∂∂sf(s)=∂∂s(y−Xs)TR(y−Xs)=∂∂s(yT−sTXT)R(y−Xs)=∂∂s(−sTXTRy−yTRXs+sTXTRXs)=−XTRy−XTRTy+XT(R+RT)Xs=−XT(R+RT)y+XT(R+RT)Xs=−XT(R+RT)(y−Xs) \begin{align*} {{ \partial } \over { \partial \mathbf{s} }} f \left( \mathbf{s} \right) =& {{ \partial } \over { \partial \mathbf{s} }} \left( \mathbf{y} - X \mathbf{s} \right)^{T} R \left( \mathbf{y} - X \mathbf{s} \right) \\ =& {{ \partial } \over { \partial \mathbf{s} }} \left( \mathbf{y}^{T} - \mathbf{s}^{T} X^{T} \right) R \left( \mathbf{y} - X \mathbf{s} \right) \\ =& {{ \partial } \over { \partial \mathbf{s} }} \left( - \mathbf{s}^{T} X^{T} R \mathbf{y} - \mathbf{y}^{T} R X \mathbf{s} + \mathbf{s}^{T} X^{T} R X \mathbf{s} \right) \\ =& - X^{T} R \mathbf{y} - X^{T} R^{T} \mathbf{y} + X^{T} \left( R + R^{T} \right) X \mathbf{s} \\ =& - X^{T} \left( R + R^{T} \right) \mathbf{y} + X^{T} \left( R + R^{T} \right) X \mathbf{s} \\ =& - X^{T} \left( R + R^{T} \right) \left( \mathbf{y} - X \mathbf{s} \right) \end{align*}

■

따름정리1

따름정리로써 RR 이 대칭행렬이면 ∂f(s)∂s=−2XTR(y−Xs) {{ \partial f \left( \mathbf{s} \right) } \over { \partial \mathbf{s} }} = - 2 X^{T} R \left( \mathbf{y} - X \mathbf{s} \right) 이고, 항등행렬이면 다음을 얻는다. ∂f(s)∂s=−2XT(y−Xs) {{ \partial f \left( \mathbf{s} \right) } \over { \partial \mathbf{s} }} = - 2 X^{T} \left( \mathbf{y} - X \mathbf{s} \right)

따름정리2

아다마르 곱 ⊙\odot에 대해서, f(s):=∥X(τ⊙s)−y∥22f(\mathbf{s}) := \left\| X(\boldsymbol{\tau} \odot \mathbf{s}) - \mathbf{y} \right\|_{2}^{2}라고 정의하면, X(τ⊙s)=Xdiag⁡(τ)sX(\boldsymbol{\tau} \odot \mathbf{s}) = X \diag(\boldsymbol{\tau}) \mathbf{s} 이므로

∂f(s)∂s=2(Xdiag⁡(τ))T(Xdiag⁡(τ)s−y)=2diag⁡(τ)TXT(X(τ⊙s)−y)=2τ⊙XT(X(τ⊙s)−y) \begin{align*} \dfrac{\partial f(\mathbf{s})}{\partial \mathbf{s}} & = 2 \left( X \diag(\boldsymbol{\tau}) \right)^{T} \left( X \diag(\boldsymbol{\tau})\mathbf{s} - \mathbf{y}\right) \\ & = 2 \diag(\boldsymbol{\tau})^{T} X^{T} \left( X (\boldsymbol{\tau} \odot \mathbf{s}) - \mathbf{y}\right) \\ & = 2 \boldsymbol{\tau} \odot X^{T} \left( X (\boldsymbol{\tau} \odot \mathbf{s}) - \mathbf{y}\right) \\ \end{align*}

  1. Petersen. (2008). The Matrix Cookbook: p10. ↩︎