📂통계적분석

스파스 회귀란?

정의

행렬 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 과 벡터 $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{m}$ 에 대해 행렬방정식이 다음과 같이 주어져 있다고 하자. $$ A \mathbf{x} = \mathbf{b} $$ 스파스 회귀^{sparse Regression}는 위와 같은 행렬방정식 등이 주어져 있을 때 그 해 혹은 최소제곱해 등을 구하며 $\mathbf{x}$ 의 스파스성^sparsity를 극대화하는, 다시 말해 $\mathbf{x}$ 에서 $0$ 이 아닌 원소를 가능한 한 적게 하는 방법들을 일컫는다. 해 $\mathbf{x}$ 가 정확히 $K$ 개의 $0$ 이 아닌 성분을 가지고 있을 때 $\mathbf{x}$ 는 $A$ 에서 $K$-스파스^{$K$-sparse in $A$}하다고 말하며¹, 스파스 회귀^{sparse Regression}란 회귀 문제에서 이 $K$ 를 최소화하는 것이다.

상세

고전적인 통계학의 회귀분석이 행렬대수적인 툴을 이용해서 회귀직선을 찾는 것에서 유래된 것은 맞지만, 데이터과학이 발달하고 ‘회귀 문제’ 자체가 주어진 데이터 $\mathbf{X} \in X$ 를 통해 $\mathbf{y} \in \mathbb{R}$ 를 설명하는 함수 $$ \mathbf{y} = f \left( \mathbf{X} \right) $$ 를 찾는 것으로 확장된 것처럼 ‘스파스 회귀’도 특정한 메서드^method를 말한다기보단 ‘$0$ 이 많은 솔루션을 찾는 방법’ 일체를 말한다고 생각하면 좋다.

오컴의 면도날 ²

오컴의 면도날^{ocham’s Razor}:

• “Among all possible descriptions, the simplest correct model is probably the true one.”

오컴의 면도날은 보통 과학 철학 등에서 많이 접하게 되는 단어로, 절약 원리^{principle of Parsimony}로도 불린다. 짧게 말해서 현상을 적절하게 기술하는 여러가지 가설이 있다면 그 중 간단한 게 가장 좋다는 것인데, 핵심적인 내용 외에 쓰잘데기 없는 설명 같은 건 면도날로 잘라내자는 말이다³.

이러한 의미에서 $K$-스파스한 솔루션에서 $K$ 가 작게한다는 것은 곧 오컴이 말하는 절약 원리를 따른다는 것이고, 꼭 공학적으로 어떤 이득이 있어서가 아니더라도 보편적으로 추구해야할 가치 중 하나라는 점에 대해서는 공감하는 편이 이롭다. 이제 구체적으로 $K$ 를 작게 만드는 사례들을 살펴보자.

통계학: 최고 부분집합 선택

모델 단순화로 요약할 수 있다.

기본적으로 통계학에서 마지막으로 얻고자 하는 ‘모델’이라는 것은 단순히 퍼포먼스만으로 평가하는 것이 아니라 직관적인 상식이나 학계의 주류 여론 등 전문지식, 과학적 사실, 사회적 통념 등과 부합하는지도 신경을 쓴다. 21세기는 애초에 빅데이터^bigData가 보편화된 시대기도 하지만, 비선형 회귀분석과 같이 다양한 파생변수를 ‘만들어낼 수 있는’ 상황에서 그냥 데이터에 잘 피팅되기만 한 모델은 그 가치가 떨어진다. 수십만개의 변수를 사용해서 예측을 잘 하는 것도 좋기는한데, 그걸 간단하고 사람이 이해할 수 있는 형태로 단순화하는 것은 또 다른 문제다.

• 최선 부분집합 선택^{best Subset Selection}: 고전적인 통계학에서 축소모형^{reduced model} 탐색은 목적에 부합하는 변수 선택 기준을 봐가면서 조금씩 독립변수를 추가하거나 제거하는 식으로 이루어지는데, 이는 달리 알고리즘을 반복하며 말해 해당 변수의 회귀계수를 $0$ 으로 고정하거나 풀어주는 것으로 볼 수도 있다.⁴ 모든 변수에 대해서 회귀분석을 반복한다는 게 ‘NP-하드’한 문제다보니 나이브하게 그리디 알고리즘으로 접근하는 수준이지만, 이것이 스파스회귀가 맞냐고 묻는다면 아니라고 단언할 수도 없는 것이다.

머신러닝: 라쏘 회귀

차원축소^{dimension Reduction}로 요약할 수 있다.

보편적으로 머신러닝에서 차원을 축소한다는 것은 데이터를 인간이 이해하기 쉽도록 줄인다는 사고방식과는 거리가 멀고, 그 수단과 방법이 어찌 되었든 기존에 의미 있는 정보를 적게 잃어버리면서 변수를 줄이는 것 자체에 의미를 둔다. 우리의 종속변수 $y$ 가 $x_{0}, x_{1} , \cdots , x_{p}$ 들의 선형결합으로 나타난다고 할 때, 어떤 변수의 계수가 $0$ 이라는 것은 그걸로 종속변수가 설명되지 않는다는 것이고, 데이터를 잘 설명하는 선에서 $0$ 인 계수가 가장 많은 해를 찾는 것은 곧 차원축소와 마찬가지다.

• 라쏘 회귀^{lASSO Regression}: 라쏘 회귀는 일반적인 회귀분석처럼 $$ Y = X \beta $$ 와 같은 꼴의 문제를 풀지만, 거기에 $\left\| \beta \right\|_{1}$ 도 동시에 최소화하길 원한다. 이런 주문을 추가하면 일반적인 회귀분석을 통해서 얻은 $\beta$ 보다 데이터를 더 잘 설명하진 못하겠지만, 그 퍼포먼스를 조금 희생해서라도 ‘정말 중요한 변인이 무엇인지’를 파악하려는 의도가 있는 것으로 볼 수 있다.

신호해석: 압축 센싱

노이즈캔슬링 및 압축^compression으로 요약할 수 있다.

주어진 신호에 대해 고속 푸리에 변환을 취하면 타임 도메인^{time Domain}에서 프리퀀시 도메인^{frequency Domain}으로 넘어오며 해당 신호가 사인과 코사인들의 선형결합으로 표현되게 된다. 여기서 그다지 중요하지 않은, 데이터에 따라서는 노이즈로 볼 수 있는 정보들은 사인, 코사인의 계수 중 그 크기가 굉장히 작은 형태로 나타날 것으로 본다. 예를 들어 어떤 신호 $y(t)$ 가 $$ y(t) = 70 \cos ( t ) + 0.03 \cos ( 2 t ) + 0.0002 \cos ( 3 t ) + 24 \cos ( 4 t ) + \cdots $$ 와 같이 나타난다면, $\cos ( 2 t )$ 와 $\cos ( 3 t )$ 는 솔직히 있으나마나해서 그냥 제거해도 무방할 수 있다. 때때로 이는 모드^mode가 아닌, 혹은 에너지^energy가 낮은 주파수의 신호를 제거한다고 말한다. 반대로 이렇게 주어진 신호를 몇 개의 베이시스로 복원할 수 있다면, 대부분의 의미 없는 데이터를 버리는 압축으로 볼 수 있기도 하다.

• 압축 센싱^{compressed Sensing}: 압축 센싱은 사실 이제까지 설명한 스파스 회귀와는 문제의 세팅과는 근본적으로 다른 게 있는데, 기본적으로 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 에서 $m \ll n$ 인 경우를 가정한다. 이는 이 시스템이 과소결정계라는 것, 다시 말해 무수히 많은 해가 존재할 때 그 해 중 가장 스파스한^sparsest한 해를 찾는 것이 목적이다. 신호해석의 맥락에서 $\mathbf{x}$ 의 어떤 성분이 $0$ 이라는 것은 쓸모없는 데이터라는 것이므로 압축, $0$ 이 아니라는 것은 필요한 데이터를 감지했다는 것이므로 압축 센싱이라는 네이밍은 적절하다고 볼 수 있겠다.