📂선형대수

선형 독립과 선형 종속

정의¹

$S = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{r} \right\}$를 벡터공간 $V$ 의 공집합이 아닌 부분집합이라고 하자. 상수 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{r}$들에 대해서 다음의 방정식

$$k_{1} \mathbf{v}_{1} + k_{2} \mathbf{v}_{2} + \dots + k_{r} \mathbf{v}_{r} = \mathbf{0}$$

은 적어도 하나의 해

$$k_{1} = 0,\ k_{2} = 0,\ \dots,\ k_{r} = 0$$

를 갖는다. 이를 자명해^{trivial solution}라고 한다. 오직 자명해만이 유일한 해이면 벡터 $\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{r}$들을 선형독립^{linearly independent} 혹은 일차독립이라고 한다. 자명해가 아닌 해가 적어도 하나 존재하면 선형종속^{linearly dependent}이라고 한다.

설명

자명해라는 건 딱 봤을 때 알 수 있는 해, 한편으로는 오히려 그래서 별 가치가 없는 해를 말한다. 왜냐하면 위 정의에서의 내용과 같이 $0$인 경우가 많기 때문이다.

위 정의로부터 다음의 정리가 바로 도출된다.

$S = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{r} \right\}$를 벡터공간 $V$ 의 공집합이 아닌 부분집합이라고 하자. $S$ 의 어떤 벡터도 다른 벡터들의 선형결합으로 표현할 수 없으면 선형독립이라 한다. 반대로 다른 벡터들의 선형결합으로 나타낼 수 있는 벡터가 적어도 하나 존재하면 선형 종속이라 한다.

위 정리의 내용을 바탕으로 생각해보면 '독립' 과 '종속' 이라는 명명이 와닿을 것이다. 정의와 정리가 반대로 되어있는 교재도 있다.

재미있는 점은 각주의 참고자료 'Elementary Linear Algebra'의 경우엔 변역서가 본 글과 같이 정의되어있고 원서는 반대로 정의되어있다. 개인적인 생각으로는 본 글과 같이 정의하는 것이 더 깔끔한데, 그 이유는 반대로 정의할 경우 원소가 하나인 집합에 대해서 독립/종속을 따로 정의해주어야하기 때문이다. 정리의 증명은 하단에서 소개한다.

조금 더 간단히 설명하자면, 서로 다른 두 벡터가 있을 때 한 벡터를 늘리거나 줄여서 다른 벡터와 같아질 수 없다면 독립이라고 한다. 예를 들어 $(1,0)$ 과 $(0,1)$ 는 어떤 상수를 곱해봐도, 즉 늘리거나 줄여봐도 서로 같아질 수 없다. 정의에 맞게 다시 써보자면

$$k_{1} (1,0) + k_{2} (0,1) = \mathbf{0}$$

이다. 두번째 항을 이항하면

$$k_{1}(1,0) = - k_{2}(0,1)$$

다시 정리하면

$$(k_{1}, 0) = ( 0 , - k_{2})$$

이므로 위 식을 만족시키는 해는 $k_{1} = k_{2} = 0$뿐이므로 $(1,0)$, $(0,1)$들은 선형 독립이다. 이는 정리로써 증명할 수 있는 내용이다.

정리

(a) 영벡터를 포함하는 유한집합은 선형종속이다.

(b) 하나의 벡터 $\mathbf{v}$가 선형독립일 필요충분조건은 $\mathbf{v} \ne \mathbf{0}$인 것이다.

(c) 서로 다른 두 벡터가 선형독립일 필요충분조건은 하나의 벡터가 다른 벡터의 상수배로 표현할 수 없는 것이다.

(d) $S=\left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{r} \right\}$를 두 개 이상의 벡터를 가지는 집합이라고 하자. $S$가 선형독립일 필요충분조건은 $S$ 의 어떤 벡터도 다른 벡터들의 선형결합으로 표현할 수 없는 것이다.

(e) $T \subset S$라고 하자. $S$가 선형독립이면 $T$도 선형독립이다.

(e') $T \subset S$라고 하자. $T$가 선형종속이면 $S$도 선형종속이다.

증명

(a)

$S=\left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{r}, \mathbf{0} \right\}$이라고 하자. 그러면 다음의 식이 성립한다.

$$0 \mathbf{v}_{1} + 0 \mathbf{v}_{2} + \dots + 0 \mathbf{v}_{r} + 1 \mathbf{0} = \mathbf{0}$$

따라서 정의에 의해 $S$ 는 선형종속이다.

■

(b)

(a) 를 원소가 하나인 집합에 적용하면 성립한다.

■

(c)

$(\Longrightarrow)$

$\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}$가 선형독립이라고 가정하자. 그러면

$$k_{1} \mathbf{v}_{1} + k_{2} \mathbf{v}_{2} = \mathbf{0}$$

을 만족하는 해는 오직 $k_{1}=k_{2}=0$뿐이므로 $\mathbf{v}_{1} = -\frac{k_{2}}{k_{1}}\mathbf{v}_{2} = -k\mathbf{v}_{2}$를 만족하는 상수 $k$ 는 존재하지 않는다.

$(\Longleftarrow)$

$\mathbf{v}_{1}$가 $\mathbf{v}_{2}$ 의 상수배로 표현되지 않는다고 가정하자. 즉 다음의 방정식

$$\mathbf{v}_{1} = k_{2}\mathbf{v}$$

를 만족하는 $k_{2}$가 존재하지 않는다고 하자. 그러면

$$k_{1} \mathbf{v}_{1} + k_{2} \mathbf{v}_{2} = \mathbf{0}$$

을 만족시키는 해는 자명해가 유일하므로 $\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}$ 는 선형독립이다.

■

(d)

$(\Longrightarrow)$

$S$가 선형독립이라고 가정하자.

$$k_{1} \mathbf{v}_{1} + k_{2} \mathbf{v}_{2} + \dots + k_{r} \mathbf{v}_{r} = \mathbf{0}$$

를 만족하는 해는 오직 $k_{1}=k_{2}=\cdots=k_{r}=0$뿐이므로

$$\mathbf{v}_{1} = -\frac{k_{2}}{k_{1}}\mathbf{v}_{2} - \cdots - \frac{k_{r}}{k_{1}}\mathbf{v}_{r}$$

를 만족하는 상수 $\frac{k_{2}}{k_{1}}, \dots, \frac{k_{r}}{k_{1}}$들이 존재하지 않는다. 이는 모든 $\mathbf{v}_{i}$ 에 해당하므로 어떤 벡터도 다른 벡터들의 선형결합으로 나타낼 수 없다.

$(\Longleftarrow)$

어떤 벡터도 다른 벡터들의 선형결합으로 나타낼 수 없다고 가정하자. 즉 다음의 방정식

$$\mathbf{v}_{1} = k_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{r}\mathbf{v}_{r}$$

을 만족하는 $k_{2}, \dots, k_{r}$ 이 존재하지 않는다고 하자. 그러면

$$k_{1}\mathbf{v}_{1} + k_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{r}\mathbf{v}_{r} = \mathbf{0}$$

을 만족시키는 해는 자명해가 유일하므로 $S$ 는 선형독립이다.

■

(e)

두 집합 $T$, $S$가 다음과 같다고 하자.

$$T = \left\{ \mathbf{v}_{1},\ \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{r} \right\},\quad S = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{r}, \mathbf{v}_{r+1}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}$$

$T$ 는 $S$ 의 부분집합이다. 이제 $S$가 선형독립이라고 가정하자. 그러면

$$c_{1}\mathbf{v}_{1} + c_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots +c_{r} \mathbf{v}_{r} + c_{r+1} \mathbf{v}_{r+1} + \cdots + c_{n} \mathbf{v}_{n} = \mathbf{0}$$

을 만족하는 해는 자명해 $c_{1}=c_{2} = \cdots = c_{r} = c_{r+1} = \cdots = c_{n} = 0$ 뿐이다. 따라서 $c_{r+1} = \cdots = c_{n} = 0$이므로 다음의 식이 성립한다.

$$\begin{align*} && c_{1}\mathbf{v}_{1} + c_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots +c_{r} \mathbf{v}_{r} + c_{r+1} \mathbf{v}_{r+1} + \cdots + c_{n} \mathbf{v}_{n} =&\ \mathbf{0} \\ \implies && c_{1}\mathbf{v}_{1} + c_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots +c_{r} \mathbf{v}_{r} + \left( 0\mathbf{v}_{r+1} + \cdots + 0 \mathbf{v}_{n} \right) =&\ \mathbf{0} \\ \implies && c_{1}\mathbf{v}_{1} + c_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots +c_{r} \mathbf{v}_{r} + \mathbf{0} =&\ \mathbf{0} \\ \implies && c_{1}\mathbf{v}_{1} + c_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots +c_{r} \mathbf{v}_{r} =&\ \mathbf{0} \end{align*}$$

그런데 위 식은 $c_{1} = c_{2} = \cdots = c_{r} = 0$일 때만 성립하므로 $T$ 는 선형독립이다.

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(e')

(e) 의 대우로써 성립한다.

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