📂확률분포론

폰 미제스-피셔 분포

정의 ¹

유니크 모드^{unique Mode} $\mu \in S^{p-1}$ 과 집중^{concentration} $\kappa > 0$ 에 대해 다음과 같은 확률 밀도 함수를 가지는 다변량분포 $\text{vMF}_{p} \left( \mu , \kappa \right)$ 를 폰 미제스-피셔 분포^{von Mises-Fisher distribution}라 한다. $$ f \left( \mathbf{x} \right) = \left( {{ \kappa } \over { 2 }} \right)^{p/2-1} {{ 1 } \over { \Gamma \left( p/2 \right) I_{p/2-1} \left( \kappa \right) }} \exp \left( \kappa \mu^{T} \mathbf{x} \right) \qquad , \mathbf{x} \in S^{p-1} $$

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• $S^{p-1} \subset \mathbb{R}^{p}$ 는 유닛 스피어다.
• $\mu ^{T}$ 는 벡터 $\mu$ 에 트랜스포즈를 취한 것이다.
• $\Gamma$ 는 감마함수다.
• $I_{\nu}$ 는 $\nu$차 변형 제1종 베셀 함수로써, 이러한 복잡한 함수가 쓰이는 이유는 변형 제1종 베셀 함수가 방향 통계학에 등장하는 이유 포스트를 참고하라.

설명

폰 미제스-피셔 분포는 특히 $p=2$ 일 때 폰 미제스 분포라 불리며, $p=3$ 일 때 피셔 분포^{fisher distribution}라 한다. 폰 미제스 분포가 원 위에서의 정규분포였던 것과 유사하게 피셔 분포는 구면 위에서의 다변량정규분포가 되고, $p > 3$ 으로의 일반화 역시 기하적으로 상상하기는 어렵지만 여전히 비슷한 의미를 가진다.

방향통계학^{directional Statistics}에서 정규분포라고 하면 자연스럽게 폰 미제스-피셔 분포부터 떠올리면 된다. 피셔 분포, 즉 $p=3$ 이라고 하면 구면 상에서의 정규분포기 때문에 적어도 행성단위(특히 지구)의 연구에서 그 쓰임새를 어렵지 않게 떠올릴 수 있다.