📂복소해석

복소함수의 정의

정의 ¹

복소수 집합 $\mathbb{C}$ 의 공집합이 아닌 부분집합 $A,B \subset \mathbb{C}$ 에 대해 $f : A \to B$ 를 복소함수^{complex Valued function}라 한다. 한편 $A, B \subset \mathbb{R}$ 일 때, 복소함수와 구분하는 의미에서 $f : A \to B$ 를 실함수^{real Valued function}라 하기도 한다.

설명

위의 정의는 사실 아무런 의미도 없다. 기껏 적어놓고 무슨 소리냐는 생각이 들겠지만, 애초에 따지고 들자면 너무 걸고 넘어질 부분이 많은 정의기 때문에 정의로써 무가치하다.

• Real, Complex Valued Function라는 표현은 엄밀히 말해 ‘함수값’이 실수인지 복소수인지를 구분하고 있으므로 정의역은 어찌되든 관계 없는 정의를 세우는 것이 타당해 보인다.
• 공역이 $\mathbb{C}^{n}$ 라고 해서 그걸 복소함수가 아니라 복소벡터함수라고 굳이 부르지는 않는다. 당연히 그에 대비되는 표현으로 $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 를 복소스칼라함수라고 부르지도 않는다.
• 정의역은 실수고 공역은 복소수라고 해서, 반대로 정의역이 복소수고 공역이 실수라고 해서 그 함수를 복소함수면서 실함수라고 부르지는 않는다.
• 사실 실함수는 중고등학교부터 접하던 대부분의 함수를 일컫는 것처럼 보이지만, 수학과에서는 많은 강좌와 교재에서 측도론에 해당하는 내용을 그냥 실해석^{real Analysis}이라고도 불러서 혼동을 일으킬 수 있다.

요지는, 복소함수와 실함수라는 표현 자체가 엄밀한 정의에 입각해서 쓰이는 게 아니라 맥락에 따라 컨벤션을 따르는 성격이 강하다는 것이다. 예를 들어 $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 는 그냥 모두가 복소함수로 부르고, $f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ 는 복소함수라고 불러도 되지만 ‘함수값이 복소수인 함수’라고 구분하는 ‘경향’이 있다. $f : \mathbb{C}^{n} \to \mathbb{C}^{n}$ 는 누구나 복소함수라 부르지만 $f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$ 를 실함수라고 부를 일은 좀처럼 없는데, 대개 $\mathbb{C}^{n}$ 는 어떤 함수나 정리의 일반화로써 의미가 있지만 $\mathbb{R}^{n}$ 은 벡터함수로써의 의미가 강해지기 때문이다.