축약가능 공간의 정의
정의 1 2
호모토피 타입: 두 위상공간 $X, Y$ 에 대해 다음을 만족하는 연속함수 $f : X \to Y$, $g: Y \to X$ 가 존재하면 $X, Y$ 가 같은 호모토피 타입homotopy Type을 가진다고 하며 $X, Y$ 혹은 $f, g$ 가 호모토피 동치homotopy Equivalence라고도 한다. $$ \begin{align*} g \circ f \simeq& \text{id}_{X} \\ f \circ g \simeq& \text{id}_{Y} \end{align*} $$ 여기서 $\text{id}_{\cdot}$ 은 항등함수이고, $f \simeq g$ 는 $f,g$ 가 호모토픽함을 의미한다.
위상공간 $X$ 가 한 점으로만 이루어진 공간 $\left\{ x \right\} \subset X$ 와 같은 호모토피 동치면 축약가능 공간contractible space이라 한다.
예시
제 아무리 우주가 크더라도 그것이 다중우주를 생각할 때 무슨 의미며, 아무리 질량이 있는 입자라도 한 점이나 마찬가지로 작다면 그 부피가 무슨 의미겠는가?
위상수학에서 ‘한 점으로 모인다’거나 ‘모양을 바꾼다’는 컨셉은 대단히 중요하며, 축약가능 공간이란 직관적으로 ‘더 이상 작아질 수 없는’ ‘한 점으로’ ‘모양을 바꿔 생각해도 무방한’ 공간이라 할 수 있겠다.
유클리드 공간
유클리드 공간 $\mathbb{R}^{p}$ 에 있는 그 어떤 패스를 상상하든 그들은 한 점으로 연속적으로 변할 수 있다. 즉 컨스턴트 패스 $c_{x}$ 와 호모토픽하므로 유클리드 공간은 축약가능 공간이다.
$n$-디스크
디스크 $D^{n}$ 은 유클리드 공간보다도 작으니 볼 것도 없이 당연히 축약가능이다.
컨벡스 집합
디스크까지는 아니라도 컨벡스 헐이라면 유클리드 공간의 부분집합으로써 자명하게 축약가능함을 알 수 있다.
단위원은 축약불가능하다
한편 단위원 $S^{1}$ 은 가운데가 뚫려있어 한 점으로 수축되지 못한다. 이 사실은 특히 루프에 관심을 많이 가지는 개념인 호모토피, 기본군과 더불어 (학부수준 너머의) 위상수학이 왜 그렇게까지 ‘고리’와 ‘구멍’에 집착하는지와 연결된다.