대수위상에서의 유도된 준동형사상
정의 1 2
$X,Y$ 가 위상공간이고 $\varphi : X \to Y$ 가 연속이라 하자. 이들의 기본군 사이에서 $$ \varphi_{\ast} [f] := \left[ \varphi f \right] = \left[ \varphi \circ f \right] \qquad , \forall f : I \to X $$ 와 같이 정의된 준동형사상 $$ \varphi_{\ast} : \pi_{1} \left( X, x \right) \to \pi_{1} \left( Y, \varphi (x) \right) $$ 을 인듀스드 호모몰피즘induced Homomorphism이라 한다.
정리
- [1]: 만약 $\phi : X \to Y$ 와 $\psi : Y \to Z$ 가 연속이면, $\left( \psi \phi \right)_{\ast} = \psi_{\ast} \phi_{\ast}$ 다.
- [2]: 만약 $\varphi : X \to Y$ 가 호메오멀피즘이면, $\varphi_{\ast} : \pi_{1} \left( X, x \right) \to \pi_{1} \left( Y, \varphi (x) \right)$ 은 아이소멀피즘이다.
설명
모름지기 위상수학이란 두 위상공간 사이의 호메오멀피즘에, 대수학이란 두 대수구조 사이의 아이소멀피즘에 관심을 가지게 마련이다. 대수위상algebraic Topology이 이 둘 모두를 궁금해하는 것은 지극히 당연한 일이며 유도된 준동형사상은 관련된 이론의 연구에 있어서 대단히 중요한 개념이다.
우선 노테이션에 관해서는 정의에 적힌대로 꼼꼼하게 함수의 합성이 어떻고 연속이 어떻고 하는 식으로 머리를 굴려서 이해하는 것보다는 모양부터 받아들이는 게 공부하기 편하다. $$ \begin{align*} \phi :& X \to Y \\ \phi_{\ast} :& \pi_{1} X \to \pi_{1} Y \end{align*} $$ 형식을 보면 $\ast$ 가 붙고 안 붙고로 함수가 구분되고 있다. 위의 두 수식에는 $f : I \to X$ 가 $X$ 에서의 패스라거나, $\varphi : X \to Y$ 가 $X$ 의 기점 $x \in X$ 를 $\varphi(x) \in Y$ 로 대응 시킨다거나, $[f] \in \pi_{1} (X, x)$ 가 호모토피 클래스라거나 하는 설명 일체를 빼고 그냥 외우기 쉽게 요약한 것이다. 한마디로,
- $\ast$ 가 없는 $\phi$ 는 위상수학(연속함수)이고
- $\ast$ 가 있는 $\phi_{\ast}$ 는 대수학(준동형사상)이다.
이를 숙지하는 좋은 방법은 호모토피 클래스끼리의 연산이 $$ [f] \ast [g] = \left[ f \cdot g \right] $$ 와 같이 표기되었다는 것을 떠올리면 좋다. 대수위상에서는, 적어도 호모토피를 다루는 맥락에서는 $\ast$ 가 붙으면 무조건 대수 이야기를 한다는 정도로 받아들이면 공부하기가 한결 편해진다. 한편 여기서 $f \cdot g$ 는 $f$ 와 $g$ 의 끝점을 이어붙인 패스 프로덕션path Production이고, 정의의 $$ \varphi_{\ast} [f] := \left[ \varphi f \right] $$ 에서 $\varphi f$ 는 함수의 합성인 $\varphi \circ f$ 을 나타낸다. 이건 조금만 생각해보면 명료해진다. $f$ 는 공역이 $X$ 고, $\varphi$ 는 정의역이 $X$ 라 합성이 자연스러운 동시에 딱히 패스가 아니기 때문에 둘 사이의 연산은 패스 프로덕트 $\cdot$ 일 리가 없다.