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추상 심플리셜 컴플렉스의 정의 📂위상데이터분석

추상 심플리셜 컴플렉스의 정의

정의 1

임의의 집합 XX 가 주어져 있다고 하자.

  1. XX멱집합 2X2^{X}유한부분집합 중 다음을 만족하는 컴플렉스 A2XA \subset 2^{X}(추상 심플리셜) 컴플렉스abstract Simplicial Complex라 한다. αAβα    βA \alpha \in A \land \beta \subset \alpha \implies \beta \in A
  2. 컴플렉스 AA 의 원소 αA\alpha \in A 들을 심플렉스simplices라 한다.
  3. 심플렉스 α\alpha 의 차원dimension dim\dim 은 다음과 같이 α\alpha기수에서 11 만큼 뺀 값으로 정의된다. dimα:=α1 \dim \alpha := | \alpha | - 1 컴플렉스 AA 의 차원은 다음과 같이 AA 의 모든 심플렉스들의 차원 중 최대값으로써 정의된다. dimA:=maxαA(dimα) \dim A := \max_{\alpha \in A} \left( \dim \alpha \right)
  4. 심플렉스 α\alpha공집합이 아닌 진부분집합 βα\beta \subsetneq \alphaα\alpha페이스face라 한다.
  5. 다음과 같이 구해지는 AA 의 모든 심플렉스의 합집합 V(A)V(A)AA버텍스 집합vertex set이라 한다. V(A):=αAα V(A) := \bigcup_{\alpha \in A} \alpha
  6. 컴플렉스의 부분집합 BAB \subset A 가 컴플렉스면 부분컴플렉스subcomplex라 한다.
  7. 다음을 만족하는 전단사 b:V(A)V(B)b : V(A) \to V(B) 가 존재하면 두 컴플렉스 A,BA, B아이소멀픽isomorphic하다고 한다. αA    b(α)B \alpha \in A \iff b (\alpha) \in B
  8. (기하적) 심플리셜 컴플렉스 KK 에 대해 그 구성을 모두 무시하고 버텍스 사이의 관계만을 유지해서 얻은 (추상) 심플리셜 컴플렉스 AAKK버텍스 스킴vertex Scheme이라 하고, 이 때 KKAA기하적 실현geometric Realization이라 한다.

설명

추상 심플리셜 컴플렉스는 그 이름 그대로 심플리셜 컴플렉스에서 기하적인 의미를 빼고 추상화한 것이다. 사실 수학도의 관점으로 보자면 컴플렉스를 생각함에 있어 컨벡스 헐이니 뭐니 하는 조건들은 그냥 골치 아프고 귀찮은 제약에 지나지 않는다.

예로써 X=NX = \mathbb{N} 이라 할때 T:={{1},{2},{3},{4},{1,2},{2,3},{3,4},{4,1},{2,4}{1,2,4},{2,3,4}} \begin{align*} T :=& \left\{ \left\{ 1 \right\}, \left\{ 2 \right\} , \left\{ 3 \right\}, \left\{ 4 \right\} , \right. \\ & \left\{ 1,2 \right\}, \left\{ 2,3 \right\}, \left\{ 3,4 \right\}, \left\{ 4,1 \right\}, \left\{ 2,4 \right\} \\ & \left. \left\{ 1,2,4 \right\} , \left\{ 2,3,4 \right\} \right\} \end{align*} 을 생각해보면 추상 심플리셜 컴플렉스의 모든 조건을 잘 만족시키고, 이 때 유클리드 공간 R\mathbb{R} 이라든가 그 기하적인 의미같은 건 전혀 신경쓰지 않아도 상관 없다. TT44 개의 00차원 심플렉스, 55 개의 11차원 심플렉스, 22개의 22차원 심플렉스를 가지므로 그 컴플렉스 자체는 22차원이며, 버텍스 집합으로써 V(T)={1,2,3,4}V(T) = \left\{ 1,2,3,4 \right\} 를 가진다. 한편 다음과 같은 기하적 심플리셜 컴플렉스 GG 가 주어져 있다면, TTGG 의 버텍스 스킴으로 보아도 무방하다.

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  1. Edelsbrunner, Harer. (2010). Computational Topology An Introduction: p63~64. ↩︎