추상 심플리셜 컴플렉스의 정의
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정의
임의의 집합 X 가 주어져 있다고 하자.
- X 의 멱집합 2X 의 유한한 부분집합 중 다음을 만족하는 컴플렉스 A⊂2X 를 (추상 심플리셜) 컴플렉스abstract Simplicial Complex라 한다.
α∈A∧β⊂α⟹β∈A
- 컴플렉스 A 의 원소 α∈A 들을 심플렉스simplices라 한다.
- 심플렉스 α 의 차원dimension dim 은 다음과 같이 α 의 기수에서 1 만큼 뺀 값으로 정의된다.
dimα:=∣α∣−1
컴플렉스 A 의 차원은 다음과 같이 A 의 모든 심플렉스들의 차원 중 최대값으로써 정의된다.
dimA:=α∈Amax(dimα)
- 심플렉스 α 의 공집합이 아닌 진부분집합 β⊊α 을 α 의 페이스face라 한다.
- 다음과 같이 구해지는 A 의 모든 심플렉스의 합집합 V(A) 을 A 의 버텍스 집합vertex set이라 한다.
V(A):=α∈A⋃α
- 컴플렉스의 부분집합 B⊂A 가 컴플렉스면 부분컴플렉스subcomplex라 한다.
- 다음을 만족하는 전단사 b:V(A)→V(B) 가 존재하면 두 컴플렉스 A,B 가 아이소멀픽isomorphic하다고 한다.
α∈A⟺b(α)∈B
- (기하적) 심플리셜 컴플렉스 K 에 대해 그 구성을 모두 무시하고 버텍스 사이의 관계만을 유지해서 얻은 (추상) 심플리셜 컴플렉스 A 를 K 의 버텍스 스킴vertex Scheme이라 하고, 이 때 K 를 A 의 기하적 실현geometric Realization이라 한다.
설명
추상 심플리셜 컴플렉스는 그 이름 그대로 심플리셜 컴플렉스에서 기하적인 의미를 빼고 추상화한 것이다. 사실 수학도의 관점으로 보자면 컴플렉스를 생각함에 있어 컨벡스 헐이니 뭐니 하는 조건들은 그냥 골치 아프고 귀찮은 제약에 지나지 않는다.
예로써 X=N 이라 할때
T:={{1},{2},{3},{4},{1,2},{2,3},{3,4},{4,1},{2,4}{1,2,4},{2,3,4}}
을 생각해보면 추상 심플리셜 컴플렉스의 모든 조건을 잘 만족시키고, 이 때 유클리드 공간 R 이라든가 그 기하적인 의미같은 건 전혀 신경쓰지 않아도 상관 없다. T 는 4 개의 0차원 심플렉스, 5 개의 1차원 심플렉스, 2개의 2차원 심플렉스를 가지므로 그 컴플렉스 자체는 2차원이며, 버텍스 집합으로써 V(T)={1,2,3,4} 를 가진다. 한편 다음과 같은 기하적 심플리셜 컴플렉스 G 가 주어져 있다면, T 는 G 의 버텍스 스킴으로 보아도 무방하다.
