📂위상데이터분석

추상 심플리셜 컴플렉스의 정의

정의 ¹

임의의 집합 $X$ 가 주어져 있다고 하자.

1. $X$ 의 멱집합 $2^{X}$ 의 유한한 부분집합 중 다음을 만족하는 컴플렉스 $A \subset 2^{X}$ 를 (추상 심플리셜) 컴플렉스^{abstract Simplicial Complex}라 한다. $$ \alpha \in A \land \beta \subset \alpha \implies \beta \in A $$
2. 컴플렉스 $A$ 의 원소 $\alpha \in A$ 들을 심플렉스^simplices라 한다.
3. 심플렉스 $\alpha$ 의 차원^dimension $\dim$ 은 다음과 같이 $\alpha$ 의 기수에서 $1$ 만큼 뺀 값으로 정의된다. $$ \dim \alpha := | \alpha | - 1 $$ 컴플렉스 $A$ 의 차원은 다음과 같이 $A$ 의 모든 심플렉스들의 차원 중 최대값으로써 정의된다. $$ \dim A := \max_{\alpha \in A} \left( \dim \alpha \right) $$
4. 심플렉스 $\alpha$ 의 공집합이 아닌 진부분집합 $\beta \subsetneq \alpha$ 을 $\alpha$ 의 페이스^face라 한다.
5. 다음과 같이 구해지는 $A$ 의 모든 심플렉스의 합집합 $V(A)$ 을 $A$ 의 버텍스 집합^{vertex set}이라 한다. $$ V(A) := \bigcup_{\alpha \in A} \alpha $$
6. 컴플렉스의 부분집합 $B \subset A$ 가 컴플렉스면 부분컴플렉스^subcomplex라 한다.
7. 다음을 만족하는 전단사 $b : V(A) \to V(B)$ 가 존재하면 두 컴플렉스 $A, B$ 가 아이소멀픽^isomorphic하다고 한다. $$ \alpha \in A \iff b (\alpha) \in B $$
8. (기하적) 심플리셜 컴플렉스 $K$ 에 대해 그 구성을 모두 무시하고 버텍스 사이의 관계만을 유지해서 얻은 (추상) 심플리셜 컴플렉스 $A$ 를 $K$ 의 버텍스 스킴^{vertex Scheme}이라 하고, 이 때 $K$ 를 $A$ 의 기하적 실현^{geometric Realization}이라 한다.

설명

추상 심플리셜 컴플렉스는 그 이름 그대로 심플리셜 컴플렉스에서 기하적인 의미를 빼고 추상화한 것이다. 사실 수학도의 관점으로 보자면 컴플렉스를 생각함에 있어 컨벡스 헐이니 뭐니 하는 조건들은 그냥 골치 아프고 귀찮은 제약에 지나지 않는다.

예로써 $X = \mathbb{N}$ 이라 할때 $$ \begin{align*} T :=& \left\{ \left\{ 1 \right\}, \left\{ 2 \right\} , \left\{ 3 \right\}, \left\{ 4 \right\} , \right. \\ & \left\{ 1,2 \right\}, \left\{ 2,3 \right\}, \left\{ 3,4 \right\}, \left\{ 4,1 \right\}, \left\{ 2,4 \right\} \\ & \left. \left\{ 1,2,4 \right\} , \left\{ 2,3,4 \right\} \right\} \end{align*} $$ 을 생각해보면 추상 심플리셜 컴플렉스의 모든 조건을 잘 만족시키고, 이 때 유클리드 공간 $\mathbb{R}$ 이라든가 그 기하적인 의미같은 건 전혀 신경쓰지 않아도 상관 없다. $T$ 는 $4$ 개의 $0$차원 심플렉스, $5$ 개의 $1$차원 심플렉스, $2$개의 $2$차원 심플렉스를 가지므로 그 컴플렉스 자체는 $2$차원이며, 버텍스 집합으로써 $V(T) = \left\{ 1,2,3,4 \right\}$ 를 가진다. 한편 다음과 같은 기하적 심플리셜 컴플렉스 $G$ 가 주어져 있다면, $T$ 는 $G$ 의 버텍스 스킴으로 보아도 무방하다.