원판, 원통의 관성모멘트 📂고전역학

원판, 원통의 관성모멘트

공식

반지름이 $a$ , 질량이 $m$ 인 원판의 관성모멘트는

$\rho$ 를 단위면적당 질량이라고 하자. 그러면 원판의 질량은 $m=\rho \pi r^2$ 이다. 따라서 다음과 같다.

$dm=\rho \pi 2r dr$

관성모멘트를 구하는 식은 $\displaystyle I=\int r^2dm$ 이므로 다음이 성립한다.

$I=\int_{0}^a\rho \pi 2 r^3 dr=\rho \pi 2 \frac{1}{4}a^4=\frac{1}{2}\rho \pi a^4$

이 때 $\displaystyle \rho=\frac{m}{\pi a^2}$ 이므로

$I=\frac{1}{2}ma^2$

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수직축 정리에 의해서 $I_{z}=I_{x}+I_{y}$ 이고, $x$ 축을 회전축으로 할 때나 $y$ 축을 회전축으로 할 때나 같은 모양이므로 $I_{x}=I_{y}$ 이다. 따라서

$\begin{align*} && 2I_{x} &= I_{z}=\frac{1}{2}ma^2 \\ \implies && I_{x} &= \frac{1}{4}ma^2 \end{align*}$

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