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포커-플랑크 방정식 유도 📂확률미분방정식

포커-플랑크 방정식 유도

정리

$$ d X_{t} = f \left( t, X_{t} \right) dt + g \left( t , X_{t} \right) d W_{t} \qquad , t \in \left[ t_{0} , T \right] $$ 확률미분방정식이 위와 같이 주어져 있고, $F \in C_{0}^{\infty} \left( \mathbb{R} \right)$라 하자. 그러면 $t$ 시점에서 $X_{t}$ 의 확률밀도함수 $p(t,x)$ 는 다음의 편미분방정식을 따른다. $$ {{ \partial p(t,x) } \over { \partial t }} = - {{ \partial \left[ p(t,x) f(t,x) \right] } \over { \partial x }} + {{ 1 } \over { 2 }} {{ \partial^{2} \left[ p(t,x) \left( g(t,x) \right)^{2} \right] } \over { \partial x^{2} }} $$

설명

방정식에서 묘사하는 것은 $X_{t}$ 그 자체가 아닌 그 확률분포임에 주의하자.

특히 $f = 0$ 이면 열 방정식이다.

유도

$$ \begin{align*} X =& X_{t} \\ f =& f \left( t, X_{t} \right) \\ g =& g \left( t, X_{t} \right) \\ g^{2} =& \left[ g \left( t, X_{t} \right) \right]^{2} \end{align*} $$

편의상 위와 같은 노테이션을 허용하고, 다음과 같이 널리 쓰이는 편미분 표기를 사용하자. $$ F_{x} = {{ \partial F } \over { \partial x }} $$

Part 1.

  • 이토 공식: $$ dY_{t} = \left( V_{t} + V_{x} u + {{ 1 } \over { 2 }} V_{xx} v^{2} \right) dt + V_{x} v d W_{t} $$
  • [6] 이토 적분의 기대값: $$ E \left[ \int_{a}^{b} f d W_{t} \right] = 0 $$

이토 공식에 따라 $d F \left( X \right)$ 를 계산해보면 $dW_{s}$ 에 대한 적분, 즉 이토 적분의 기대값 $(\star)$에 따라 $$ \begin{align*} & d F \left( X \right) = \left( f F_{x} + {{ 1 } \over { 2 }} g^{2} F_{xx} \right) dt + g F_{x} d W_{s} \\ \implies & \int_{0}^{t} d F \left( X \right) = \int_{0}^{t} \left( f F_{x} + {{ 1 } \over { 2 }} g^{2} F_{xx} \right) dt + \int_{0}^{t} g F_{x} d W_{s} \\ \implies & E \left( F(X) \right) = E \int_{0}^{t} \left( f F_{x} + {{ 1 } \over { 2 }} g^{2} F_{xx} \right) ds + 0 & \because \star \\ \implies & {{ d E (F) } \over { dt }} = E \left[ f F_{x} + {{ 1 } \over { 2 }} g^{2} F_{xx} \right] \end{align*} $$

Part 2. $p (t,x)$ 의 등장

한편 $F(X)$ 의 기대값은 $t$ 시점에서 $X_{t}$ 의 확률밀도함수 $p (t,x)$ 에 대해 $\int_{\mathbb{R}} p(t,x) F(x) dx$ 와 같이 나타낼 수 있으므로, $$ \begin{align*} {{ d } \over { dt } } E (F) =& E \left[ f F_{x} + {{ 1 } \over { 2 }} g^{2} F_{xx} \right] \\ \implies {{ d } \over { dt }} \int_{-\infty}^{\infty} p(t,x) F(x) dx =& \int_{-\infty}^{\infty} p(t,x)\left[ {\color{red} f F_{x}} + {\color{blue} {{ 1 } \over { 2 }} g^{2} F_{xx} } \right] dx \end{align*} $$ 이다. 이제 우변을 하나하나 부분적분으로 구해보자.

Part 3. 부분적분

$p \left( t,\pm \infty \right) = 0$ 이다. 첫번째항 ${\color{red} \int_{-\infty}^{\infty} p(t,x) f F_{x} dx}$ 은 $$ \begin{align*} & \int_{-\infty}^{\infty} p(t,x) f F_{x} dx \\ =& \left[ p (t,x) f \cdot F(x) \right]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty} {{ \partial \left[ p (t,x) f \right] } \over { \partial x }} F(x) dx \\ =& 0 - 0 - \int_{-\infty}^{\infty} {{ \partial \left[ p (t,x) f \right] } \over { \partial x }} F (x) dx \end{align*} $$ 이다. $F \in C_{0}^{\infty} \left( \mathbb{R} \right)$ 이라는 가정에 따라, $F \left( \pm \infty \right) = 0$ 이다. 두번째항 ${\color{blue} \int_{-\infty}^{\infty} p(t,x) {{ 1 } \over { 2 }} g^{2} F_{xx} dx}$ 은 부분적분을 두 번 해서 $$ \begin{align*} & \int_{-\infty}^{\infty} p(t,x) {{ 1 } \over { 2 }} g^{2} F_{xx} dx \\ =& \left[ p (t,x) {{ 1 } \over { 2 }} g^{2} \cdot F_{x} (x) \right]_{-\infty}^{\infty} - {{ 1 } \over { 2 }} \int_{-\infty}^{\infty} {{ \partial \left[ p (t,x) g^{2} \right] } \over { \partial x }} F_{x} (x) dx \\ =& 0 - 0 - {{ 1 } \over { 2 }} \int_{-\infty}^{\infty} {{ \partial \left[ p (t,x) g^{2} \right] } \over { \partial x }} F_{x} (x) dx \\ =& - {{ 1 } \over { 2 }} \left[ {{ \partial \left[ p (t,x) g^{2} \right] } \over { \partial x }} F (x) \right]_{-\infty}^{\infty} + {{ 1 } \over { 2 }} \int_{-\infty}^{\infty} {{ \partial^{2} \left[ p (t,x) g^{2} \right] } \over { \partial x^{2} }} F (x) dx \\ =& - 0 + 0 + {{ 1 } \over { 2 }} \int_{-\infty}^{\infty} {{ \partial^{2} \left[ p (t,x) g^{2} \right] } \over { \partial x^{2} }} F (x) dx \end{align*} $$

Part 4.

$$ \begin{align*} & \int_{-\infty}^{\infty} {{ \partial p(t,x) } \over { \partial t }} F(x) dx \\ =& {{ d } \over { dt }} \int_{-\infty}^{\infty} p(t,x) F(x) dx \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} p(t,x)\left[ {\color{red} f F_{x}} + {\color{blue} {{ 1 } \over { 2 }} g^{2} F_{xx} } \right] dx \\ =& - \int_{-\infty}^{\infty} {{ \partial \left[ p (t,x) f \right] } \over { \partial x }} F (x) dx + {{ 1 } \over { 2 }} \int_{-\infty}^{\infty} {{ \partial^{2} \left[ p (t,x) g^{2} \right] } \over { \partial x^{2} }} F (x) dx \end{align*} $$ 첫변째 행을 좌변으로 두고 마지막 행을 좌변으로 몰아보면 다음을 얻는다. $$ \int_{-\infty}^{\infty} \left[ {{ \partial p(t,x) } \over { \partial t }} - \left( - {{ \partial \left[ p (t,x) f \right] } \over { \partial x }} + {{ 1 } \over { 2 }} {{ \partial^{2} \left[ p (t,x) g^{2} \right] } \over { \partial x^{2} }} \right) \right] F(x) dx = 0 $$ 정리된 위의 적분은 모든 $F \in C_{0}^{\infty} \left( \mathbb{R} \right)$ 에 대해 성립하므로, 대괄호 안이 $0$ 이 되어서 다음의 원하던 편미분방정식을 얻는다. $$ {{ \partial p(t,x) } \over { \partial t }} = - {{ \partial \left[ p(t,x) f(t,x) \right] } \over { \partial x }} + {{ 1 } \over { 2 }} {{ \partial^{2} \left[ p(t,x) \left( g(t,x) \right)^{2} \right] } \over { \partial x^{2} }} $$

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