📂확률론

콜모고로프 미분방정식 유도

정리

전이확률행렬 $P(t)$ 과 미분소 행렬 $Q$ 에 대해 다음의 미분방정식이 성립한다. $${{ d P(t) } \over { dt }} = Q P(t) = P(t) Q$$

설명

굳이 구분할 땐 $dP/dt = P(t) Q$ 을 후방^backward 콜모고로프 미분방정식, $dP/dt = Q P(t)$ 을 전방^forward 콜모고로프 미분방정식 혹은 확률지배방정식^{stochastic governing equation}이라 부르기도 한다.

유도

연속적 확률과정의 채프만-콜모고로프 방정식 $P (t+h) = P (t) P (h)$에 따라 다음이 성립한다. $$\begin{align*} {{ d P(t) } \over { dt }} =& \lim_{h \to 0} h^{-1} \left[ P (t+h) - P(t) \right] \\ =& \lim_{h \to 0} h^{-1} \left[ P (t) P (h) - P(t) \right] \\ =& P (t) \lim_{h \to 0} h^{-1} \left( P(h) - I \right) \\ =& P (t) Q \end{align*}$$ 여기서 $I$ 는 항등행렬이고, $t + h = h + t$ 이므로 같은 방법으로 $P’(t) = Q P(t)$ 역시 성립함을 보일 수 있다.

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같이보기

• 포커-플랑크 방정식의 연속마코프체인 버전이라 보아도 무방하다.