📂확률론

브랜칭 프로세스

정의 ¹

개인(Individual), 세포(Cell), 분자(Molecule) 등의 파티클^particle의 시스템으로써, 생존시간^lifetime이나 기초재생산률^{basic Reproductive rate} 등이 확률변수인 확률과정을 브랜칭 프로세스^{branching process}라 한다.

설명

정의를 읽어보면 알겠지만, 브랜칭 프로세스는 워낙 많은 곳에 응용되다 보니 그 모두를 포용하는 형식적^formal 정의를 내리는 것이 쉽지 않다. 많은 문헌을 찾아보았으나 보통 정의를 얼버무리고 바로 예시로 넘어간다.

수식적으로 가장 깔끔한 브랜칭 프로세스는 골턴-왓슨 프로세스로써, 사실 역사상 가장 오래되었고, 가장 간단하며, 가장 유명한 브랜칭 프로세스기도 하다. 왓슨과 골턴은 특정 성^surname의 확산에 대한 연구에서 처음으로 브랜칭 프로세스를 고안하고 응용했다.

예시: 골턴-왓슨 프로세스

예로써 번식하는 주사위 같은 가상의 생물을 상상해보자. 이들이 매 세대 $n$ 마다 주사위는 스스로 굴러서 나온 눈만큼의 자식^offspring 주사위를 낳고 사망하는 생태를 가지고 있다고 한다면, 그 인구수 $Z_{n}$ 는 당연히 확률과정으로써 표현되어야 할 것이다.

각각의 $n$ 세대에서 $i$번째 주사위의 눈을 $X_{n,i}$ 라 나타내고 $n=0$ 에서 단 하나의 주사위 $Z_{0} = 1$ 으로 시작한다고 가정해보자. $n=1$ 일 때 그 하나의 주사위의 눈만큼 주사위가 태어나고 부모 주사위는 사망하고, 수식으로 적으면 $$ Z_{1} = X_{0,1} $$ 이다. $X_{0,1}$ 는 $1$ 부터 $6$ 까지의 자연수가 같은 확률로 뽑히는 균등분포고, 이 시나리오에서 $x_{0,1} = 2$ 가 뽑혔다고 치면 $z_{1} = 2$ 는 첫번째 주사위가 두 자식을 낳고 사망한 것으로써 위의 가정들과 잘 일치하는 것을 확인할 수 있다. 이제 다음 세대 $n=2$ 에서의 인구수는 $$ Z_{2} = X_{1,1} + X_{1,2} = \sum_{i=1}^{2} X_{1,i} = \sum_{i=1}^{z_{1}} X_{1,i} $$ 과 같이 나타난다. 이러한 과정을 $n$ 에 대해 반복하고 일반화하면 다음과 같이 점화식으로 확률과정을 얻는다. $$ Z_{n+1} = \sum_{i=1}^{Z_{n}} X_{n,i} $$