📂기하학

컨벡스 헐의 정의

정의 ¹

벡터공간 $V$ 의 부분집합 $X$ 의 컨벡스 헐^{convex Hull} $C$ 란 $X$ 를 포함하는 모든 컨벡스 셋의 교집합을 말하며, 수식적으로는 다음과 같다. $$ C = \left\{ \sum_{k} t_{k} \mathbf{x}_{k} : \mathbf{x}_{k} \in X, t_{k} \ge 0 , \sum_{k} t_{k} = 1 \right\} $$

설명

사실 정의에서 등장한 수식은 딱히 정의는 아니다. 집합 기호 안에서 조건제시법으로 나타낸 $$ \sum_{k} t_{k} \mathbf{x}_{k} $$ 을 $\left\{ \mathbf{x}_{k} \right\}_{k}$ 의 컨벡스 컴비네이션^{convex Combination}이라 한다.

사실 말이 어려워서 그렇지 그림으로 보면 간단하고², 정확히 딱 컨벡스 헐이라는 것 자체가 중요하다기 보다는 기하학, 최적화이론, 위상데이터분석 등 공간을 쉽게 다루려고 싶어할 맥락에 갑자기 등장하는 개념이다.

그림으로 본 컨벡스 헐은 정말 간단하다. $X$ 의 모든 점을 둘러싸는 가장 작은 컨벡스 셋이다. 굳이 수학적으로 모든 컨벡스 셋의 교집합 운운하는 이유는 ‘크기’가 ‘작다’는 등의 표현이 수학에서는 별로 상식적이지 못하기 때문이다.