📂보조정리

이항정리 증명

정리

$$ (x+y)^{n} = \sum_{r=0}^{n} {_n C _r} x^{r} y^{n-r} $$ 여기서 ${_n C _r}$ 를 이항계수^{binomial Coefficient}라 정의한다. $$ {_n C _r} = \binom{n}{r} = {{ n! } \over { r ! (n-r)! }} $$

설명

고등학교에서 배우는 것 치고는 놀랍게도 배우자마자 여러군데 쓸데가 보이는 정리다. 생김새가 자유롭기 때문에 많은 공식을 단번에 유도해낼 수 있으며 분야를 가리지 않고 많이 쓰인다.

증명

$(x+y)^{n}$ 을 전개할 때 $x^{r} y^{n-r}$ 의 계수는 $$ (x+y)^{n} = (x+y)(x+y)(x+y) \cdots (x+y) $$ 의 각 $(x+y)$ 중에서 $x$를 $n$개, $y$를 $n-r$개 선택하는 것과 같다. 따라서 조합 $_n C _r$ 이 $x^{r} y^{n-r}$ 의 계수가 되므로 $$ (x+y)^{n} = \sum_{r=0}^{n} {_n C _r} x^{r} y^{n-r} $$

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