이토 표현 정리와 마틴게일 표현 정리
정리 1 2
확률 공간 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ 와 필트레이션 $\left\{ \mathcal{F}_{t} \right\}_{t \ge 0}$ 이 주어져 있다고 위너 프로세스 $\left\{ W_{t} \right\}_{t \ge 0}$ 가 $\mathcal{F}_{t}$-어댑티드라고 하자.
이토 표현 정리
$f \in \mathcal{L}^{2} (P)$ 면 다음을 만족하는 확률과정 $X (t,\omega) \in m^{2}(0,T)$ 가 유일하게 존재한다. $$ f (\omega) = E (f) + \int_{0}^{T} X(s, \omega) d W_{s} $$
마틴게일 표현 정리
모든 $t \ge 0$ 에 대해 $f_{t} \in \mathcal{L}^{2} (P)$ 이고 $f_{t}$ 가 확률 $P$ 에 대해 $\mathcal{F}_{t}$-마틴게일이면 모든 $t \ge 0$ 에 대해 다음을 만족하는 확률과정 $X (t,\omega) \in m^{2}(0,t)$ 가 유일하게 존재한다. $$ f_{t} (\omega) = E \left( f_{0} \right) + \int_{0}^{t} X(s, \omega) d W_{s} $$
설명
$\mathcal{L}^{p} (\mu)$ 는 르벡 측도 $\mu$ 하에서 $\displaystyle \int_{\Omega} \left| f \right| ^{p} d \mu < \infty$ 을 만족하는 함수 $f$ 들을 모아놓은 르벡공간이다. 주어진 확률공간 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ 에서 확률 $P$ 역시 측도이므로 위 명제에서 $f \in \mathcal{L}^{2}(P)$ 는 $P$ 로 $\mathcal{L}^{2}$-적분 가능한 함수고, 따라서 $F$ 의 기대값 $\displaystyle E(f) = \int_{\Omega} f d P$ 와 같은 표기가 등장할 수 있었다.
이토 표현은 고정된 시간 $T$ 에 대한 정리고 마틴게일 표현은 모든 $t \ge 0$ 에 대한 정리라는 것에 주의하자. 한편 $f_{t}$ 가 $\mathcal{F}_{t}$-마틴게일이라는 것은 $f_{t}$ 가 $\mathcal{F}_{t}$-어댑티드면서 다음을 만족한다는 것이다. $$ \forall t \ge s \ge 0, E \left( f_{t} | \mathcal{F}_{s} \right) = f_{s} $$ 이러한 정의에서 수식에서 마틴게일 표현 정리에서 등장하는 기대값은 굳이 $E \left( f_{t} \right)$ 가 아니라 $E \left( f_{0} \right)$ 으로도 충분한 것을 확인할 수 있다.