동역학계 간 위상적 동치
정의 1
$$ \left\{ T , \mathbb{R}^{n} , \varphi^{t} \right\} \\ \left\{ T , \mathbb{R}^{n} , \psi^{t} \right\} $$ 두 동역학계가 위와 같이 주어져 있다고 하자. 시간의 방향을 유지하면서 첫번째 시스템의 각 오빗을 두번째 시스템의 모든 오빗으로 대응시키는 위상동형사상homeomorphism $h : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$ 이 존재하면 두 시스템이 위상적 동치topologically equivalent라고 한다.
설명
정의에 있는 그림을 보면 알 수 있듯, 두 시스템의 위상적 동치는 시스템 간의 정성적인qualitative 차이를 보기 위해 고려된다. 오른쪽 시스템이 왼쪽 시스템을 조금 찌그려놓은 것은 사실이지만, 구체적인 수치와 같은 정량적인quantitative 차이를 제외하곤 두 시스템은 솔직히 똑같이 생겼다. 수학자들은 이런 것들을 굳이 구분하길 좋아하지 않는다.
따름 정의 2
- 특히 그 두 시스템이 다음과 같이 맵으로 표현되는 시스템이라고 하자. $$ \begin{align*} x & \mapsto f(x) \\ y & \mapsto g(y) \end{align*} $$ 그러면 $f = h^{-1} \circ g \circ h$ 를 만족하는 호메오멀피즘 $h$ 를 컨쥬게이트conjugate라 부른다.
- $h$ 가 두 시스템이 위상적 동치가 되게끔 존재하는 호메오멀피즘이라고 하자. $h, h^{-1}$ 가 미분가능하면, 다시 말해 $h$ 가 디피오멀피즘이면 두 시스템이 스무스하게 이퀴발렌트smoothly equivalent라고 한다.
- 두 시스템이 $\dot{x} = f(x)$ 그리고 $\dot{x} = g(x)$ 와 같이 나타난다고 하자. 스무스한 양함수 $\mu > 0$ 가 다음을 만족시키면 오비탈리 이퀴발렌트orbitally equivalent하다고 말한다. $$ f(x) = \mu (x) g(x) \qquad , x \in \mathbb{R}^{n} $$
- 첫번째 시스템의 고정점 $x_{0}$ 의 근방에서 두번째 시스템의 고정점 $y_{0}$ 의 근방으로 가는 호메오멀피즘 $h$ 가 다음 세가지 조건을 만족하면서 존재하면 두 시스템이 로컬리 이퀴발렌트locally equivalent하다고 한다.
- (i): $h$ 가 $x_{0}$ 의 네이버후드 $U \subset \mathbb{R}^{n}$ 에서 정의된다.
- (ii): $y_{0} = h \left( x_{0} \right)$
- (iii): 시간의 방향을 유지하면서 첫번째 시스템의 $U$ 안의 각 오빗을 두번째 시스템의 $V = h(U) \subset \mathbb{R}^{n}$ 안의 모든 오빗으로 대응시킨다.
- 미분가능하고 그 도함수도 연속인 함수를 스무스하다고 한다.