📂기하학

등주 부등식 증명

정리 ¹

길이가 $L$ 인 평면 정칙 단순 폐곡선 $\alpha$ 가 있다고 하자.

$\alpha$ 로 둘러싸인 내부의 면적을 $A$ 라 하면 $$ L^{2} \ge 4 \pi A $$ 이다. 특히, $L^{2} = 4 \pi A$ 가 되는 조건은 $\alpha$ 가 원인 것이다.

설명

사실 이 정리가 말하는 팩트 자체는 직관적으로든 어떻든 많은 사람들에게 알려져있다. 물방울이 굳이 각지지 않고 둥글게 맺히는 물리적인 이유는 모르더라도, 수많은 자연현상 속에서 원을 접하기 때문이다.

부등식의 이름인 등주^等周는 둘레가 일정함을 의미로, 등주 부등식은 “둘레가 $L$ 으로 일정할 때 언제 내부의 넓이가 가장 넓어지는가?“에 대한 대답 그 자체다.

증명

Part 0. 빌드업

$\alpha$ 의 탄젠트하고 평행인 두 직선 $l_{1} \parallel l_{2}$ 를 생각해보자. 이 두 직선에 동시에 접하는 반지름 $r>0$ 인 원 $\beta$ 의 중심 $O$ 에서 $l_{1}, l_{2}$ 에 평행한 방향을 $y$-축이라 두고 그에 수직한 방향을 $x$-축이라 둔다.

이제 네 점 $A,B,C,D$ 을 찍을텐데, 그 중 $A,C$ 를 먼저 찍는다. $A = \alpha (0)$ 는 $\alpha$ 가 $l_{1}$ 과 접하는 점, $C = \alpha \left( s_{2} \right)$ 는 $\alpha$ 가 $l_{2}$ 과 접하는 점이다. 이에 공통된 매개변수 $s$ 에 대해 좌표를 주어 두 곡선을 표현하려 한다. 여기서 우리는 일반성을 잃지 않고, $\alpha$ 가 단위 스피드 곡선임을, 다시 말해 $\left\| \alpha^{\prime}(s) \right\| = 1$ 를 가정한다. $$ \alpha (s) = \left( x(s) , y(s) \right) \\ \beta (s) = \left( z(s) , w(s) \right) $$ 그러면 원 $\beta$ 의 좌표는 $s_{2}$ 를 기점으로 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ \begin{align*} z(s) =& x(s) \\ w(s) =& \begin{cases} - \sqrt{ r^{2} - x^{2} } & , \text{if } 0 \le s \le s_{2} \\ \sqrt{ r^{2} - x^{2} } & , \text{if } s_{2} \le s \le L \end{cases} \end{align*} $$ 세팅에서 $x$-축과 $x(s)$, $y$-축과 $y(s)$ 를 헷갈리지 않도록 주의하자. 축 이야기가 아니라 벡터로써 $x,y$ 를 다룰 땐 항상 $\alpha$ 의 좌표를 나타내는 $\left( x(s),y(s) \right)$ 로 읽어야 한다.

---

Part 1. $A + \pi r^{2} \le L r$

보조정리: 영역 $R$ 을 둘러싼 평면 단순 폐곡선 $\alpha$ 가 반시계방향으로 돈다고 하면 $$ V (R) = \int_{\alpha} x dy = - \int_{\alpha} y dx $$

위 보조정리에 따라 $\alpha$ 가 둘러싼 면적 $A$ 는 $$ \begin{align*} A =& \int_{\alpha} x dy \\ =& \int_{0}^{L} x {{ dy } \over { ds }} ds \\ =& \int_{0}^{L} x y^{\prime} ds \end{align*} $$ 이고, $\beta$ 는 원으로 정의되었으므로 그 면적 $B$ 는 $$ \begin{align*} B =& \pi r^{2} \\ =& - \int_{\beta} y dx \\ =& - \int_{0}^{L} w z^{\prime} ds \\ =& - \int_{0}^{L} w x^{\prime} ds \end{align*} $$ 이다. $A + B = A + \pi r^{2}$ 을 계산해보면 $$ \begin{align*} A + \pi r^{2} =& \int_{0}^{L} \left( x y^{\prime} - w x^{\prime} \right) ds \\ \le & \int_{0}^{L} \left| x y^{\prime} - w x^{\prime} \right| ds \\ =& \int_{0}^{L} \left| \left< \left( x^{\prime} , y^{\prime} \right) , \left( -w , x \right) \right> \right| ds \end{align*} $$ 마지막 등호는 $x y^{\prime} - w x^{\prime}$ 를 내적으로 표현한 것이다.

코시-슈바르츠 부등식: $$ \left\| \mathbf{x} \right\| \left\| \mathbf{y} \right\| \ge \left< \mathbf{x} , \mathbf{y} \right> $$

코시-슈바르츠 부등식에 따르면 $\displaystyle \int_{0}^{L} \left| \left< \left( x^{\prime} , y^{\prime} \right) , \left( -w , x \right) \right> \right| ds$ 의 피적분함수는 $$ \begin{align*} & \left| \left< \left( x^{\prime} , y^{\prime} \right) , \left( -w , x \right) \right> \right| \\ \le & \left| \left( x^{\prime} , y^{\prime} \right) \right| \left| \left( -w , x \right) \right| \\ =& \sqrt{w^{2} + x^{2}} \\ =& r \end{align*} $$ 이므로 $$ \begin{align*} A + \pi r^{2} =& \int_{0}^{L} \left| \left< \left( x^{\prime} , y^{\prime} \right) , \left( -w , x \right) \right> \right| ds \\ =& \int_{0}^{L} r ds \\ =& r L \end{align*} $$ 정리하면 다음을 얻는다. $$ A + \pi r^{2} \le r L $$

---

Part 2. $L^{2} \ge 4 \pi A$

산술평균과 기하평균 사이의 부등식: $$\sqrt{ab} \le {{ a + b } \over { 2 }}$$

위 산술평균과 기하평균 사이의 부등식에서 $a = A$ 이고 $b = B = \pi r^{2}$ 라 두면 Part 1에서 얻은 부등식에 따라

$$ \begin{equation} 2 \sqrt{\pi A r^{2}} \le A + \pi r^{2} \le L r \label{1} \end{equation} $$ 양끝변을 제곱하면 $$ 4 \pi A r^{2} \le L^{2} r^{2} $$ $r^{2}$ 을 소거하면 우리가 원하던 등주 부등식을 얻는다. $$ 4 \pi A \le L^{2} $$

---

Part 3. 둘레가 일정할 때 내부면적이 최대가 되는 경우는 원이다.

$4 \pi A = L^{2}$ 이라고 가정했을 때 $\alpha$ 가 원임을 보이면 된다.

• Part 3-1. $x = r y^{\prime}$

$4 \pi A = L^{2}$ 이라 가정했으므로, 부등식 $\eqref{1}$ 은 등식이 된다. 이는 첫번째와 두번째 변사이의 부등식, 즉 산술-기하 부등식 역시 등식이 되었다는 의미고, 산술-기하 등식이 되는 필요충분조건인 $a=b$ 에 따라 $A = B = \pi r^{2}$ 임을 알 수 있다. 한편 두번째변과 세번째 변 사이의 부등식, 코시슈바르츠 부등식 $\left\| \mathbf{x} \right\| \left\| \mathbf{y} \right\| \ge \left< \mathbf{x} , \mathbf{y} \right>$ 에서 등호를 성립시키는 필요충분조건은 어떤 상수 $c$ 에 대해 $\mathbf{x} = c \mathbf{y}$ 와 같이 나타나는 것이다. 다시 말해, 두 벡터 $\mathbf{x}, \mathbf{y}$ 가 같은 방향이거나 반대방향이어야하므로 어떤 상수 $c$ 에 대해 $$ \begin{equation} ( - w , x ) = c \left( x^{\prime} , y^{\prime} \right) \label{2} \end{equation} $$ 다. 좌변은 원 $\beta$ 를 나타내는 벡터고 우변의 $\alpha$ 는 단위 스피드 커브로 가정했으므로 $$ r = \sqrt{w^{2} + x^{2}} = |c| \sqrt{(x^{\prime})^{2} + (y^{\prime})^{2}} = |c| $$ 즉 $c = \pm r$ 인데, $\eqref{2}$ 의 양변에서 각각 $\left( x^{\prime} , y^{\prime} \right)$ 와의 내적을 생각해보면 $\alpha$ 는 단위 스피드 커브로 가정했으므로 $$ \left< ( - w , x ), \left( x^{\prime} , y^{\prime} \right) \right> = c \left< \left( x^{\prime} , y^{\prime} \right) , \left( x^{\prime} , y^{\prime} \right) \right> = c \cdot 1 = c $$ 이다. Part 1에서 $\displaystyle \int_{0}^{L} \left( x y^{\prime} - w x^{\prime} \right) ds = A + \pi r^{2} > 0$ 이었으므로 $\left< ( - w , x ), \left( x^{\prime} , y^{\prime} \right) \right> > 0$ 이고, $c = r$ 임을 알 수 있다. 그러면 $\eqref{2}$ 는 $c$ 대신 $r$ 로 나타내서 $$( - w , x ) = r \left( x^{\prime} , y^{\prime} \right)$$ 가 되고, 벡터의 두번째 성분을 비교해 $x = ry^{\prime}$ 를 얻는다. 이는 적어도 지금과 같이 $l_{1}$ 과 $l_{2}$ 을 세팅하는 경우에 $x$ 와 $y$ 가 항상 수직임을 보장한다. 원의 반지름과 접선이 항상 수직을 이루는 모양을 떠올리면 좋다.

• Part 3-2.

$A = \pi r^{2}$ 라는 것은 $r$ 이 $A$ 에 의존되고, $l_{1}$, $l_{2}$ 를 어떻게 선택하는지에는 의존되지 않음을 함의한다. 이제 Part 0에서 했던 방식과 비슷하되 $l_{1}, l_{2} \perp l_{3}, l_{4}$ 가 되도록 하는 $l_{3}$, $l_{4}$ 를 그에 접하는 원 $\gamma$ 를 생각하자. 이러한 세팅에서 Part 3-1과 같은 방법으로 $\overline{x} = r \overline{y}^{\prime}$ 를 유도할 수 있다. 한편 $y$-축은 $\overline{x}$-축과 방향이 같고, $x$-축은 $-\overline{y}$-축과 방향이 같다. 방향이 같은 축들끼리는 평행하므로, 다음을 만족하는 상수벡터 $d,e \in \mathbb{R}^{2}$ 가 존재한다. $$ \begin{align*} \overline{x} =& y - d \\ \overline{y} =& e - x \end{align*} $$ 따라서 $$ y - d = \overline{x} = r \overline{y}^{\prime} = - r x^{\prime} $$ 이고 $$ x^{2} + \left( y - d \right)^{2} = \left( r y^{\prime} \right)^{2} + \left( -r x^{\prime} \right)^{2} = r^{2} \left( \left( x^{\prime} \right)^{2} + \left( y^{\prime} \right)^{2} \right) = r^{2} $$ 이다. 따라서 $\alpha$ 는 $xy$-좌표계에서 반지름 $r$ 이고 중심이 $(0, d)$ 인 원이어야한다.

■