벡터 함수의 컬의 컬
공식
$$ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A} $$
설명
첫번째 항인 $\nabla(\nabla \cdot \mathbf{A})$는 다이벌전스의 그래디언트이며 따로 붙여진 이름은 없다. 두번째 항은 중요해서 이름이 있다. $\nabla \cdot \nabla$를 라플라시안이라 하는데, 정확하게는 벡터 함수의 라플라시안이다.
컬의 컬에 특별한 의미가 있는 것은 아니고, 다른 두 종류의 2계 도함수로 나타낼 수 있다는 점만 알면 된다.
증명
아인슈타인 노테이션을 사용하여 합기호 $\sum$을 생략하였다. 레비-치비타 심볼을 사용하여 계산하면 다음과 같다. $\nabla _{j} = \dfrac{\partial }{\partial x_{j}}$라고 하면,
$$ \begin{align*} \nabla \times ( \nabla \times \mathbf{A}) &= \epsilon_{ijk} \mathbf{e}_{i} \nabla_{j} (\nabla \times \mathbf{A})_{k} \\ &= \epsilon_{ijk} \mathbf{e}_{i} \nabla_{j} (\epsilon_{klm} \nabla_{l} A_{m}) \\ &= {\color{blue}\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}}\mathbf{e}_{i} \nabla_{j} \nabla_{l} A_{m} \\ &= {\color{blue}(\delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im} \delta_{jl}) }\mathbf{e}_{i} \nabla _{j} \nabla _{l} A_{m} \\ &= \delta_{il}\delta_{jm}\mathbf{e}_{i} \nabla _{j} \nabla _{l} A_{m} - \delta_{im} \delta_{jl} \mathbf{e}_{i} \nabla _{j} \nabla _{l} A_{m} \\ &= \mathbf{e}_{i}\nabla_{i} \nabla_{j} A_{j} - \nabla_{j} \nabla_{j} \mathbf{e}_{i} A_{i} \\ &= \mathbf{e}_{i}\nabla_{i} (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla_{j} \nabla_{j} \mathbf{A} \\ &= \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla \cdot \nabla \mathbf{A} \end{align*} $$
네번째 등호는 $\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}=(\delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im} \delta_{jl})$에 의해 성립한다.
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