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벡터 함수의 컬의 컬 📂수리물리

벡터 함수의 컬의 컬

공식

벡터 함수의 컬의 컬은 다음과 같다.

∇×(∇×A)=∇(∇⋅A)−∇2A \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}

설명

첫번째 항인 ∇(∇⋅A)\nabla(\nabla \cdot \mathbf{A})는 다이벌전스의 그래디언트이며 따로 붙여진 이름은 없다. 두번째 항은 중요해서 이름이 있다. ∇⋅∇\nabla \cdot \nabla를 라플라시안이라 하는데, 정확하게는 벡터 함수의 라플라시안이다.

컬의 컬에 특별한 의미가 있는 것은 아니고, 다른 두 종류의 2계 도함수로 나타낼 수 있다는 점만 알면 된다.

증명

아인슈타인 노테이션을 사용하여 합기호 ∑\sum을 생략하였다. 레비-치비타 심볼을 사용하여 계산하면 다음과 같다. ∇j=∂∂xj\nabla _{j} = \dfrac{\partial }{\partial x_{j}}라고 하면,

∇×(∇×A)=ϵijkei∇j(∇×A)k=ϵijkei∇j(ϵklm∇lAm)=ϵijkϵklmei∇j∇lAm=(δilδjm−δimδjl)ei∇j∇lAm=δilδjmei∇j∇lAm−δimδjlei∇j∇lAm=ei∇i∇jAj−∇j∇jeiAi=ei∇i(∇⋅A)−∇j∇jA=∇(∇⋅A)−∇⋅∇A \begin{align*} \nabla \times ( \nabla \times \mathbf{A}) &= \epsilon_{ijk} \mathbf{e}_{i} \nabla_{j} (\nabla \times \mathbf{A})_{k} \\ &= \epsilon_{ijk} \mathbf{e}_{i} \nabla_{j} (\epsilon_{klm} \nabla_{l} A_{m}) \\ &= {\color{blue}\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}}\mathbf{e}_{i} \nabla_{j} \nabla_{l} A_{m} \\ &= {\color{blue}(\delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im} \delta_{jl}) }\mathbf{e}_{i} \nabla _{j} \nabla _{l} A_{m} \\ &= \delta_{il}\delta_{jm}\mathbf{e}_{i} \nabla _{j} \nabla _{l} A_{m} - \delta_{im} \delta_{jl} \mathbf{e}_{i} \nabla _{j} \nabla _{l} A_{m} \\ &= \mathbf{e}_{i}\nabla_{i} \nabla_{j} A_{j} - \nabla_{j} \nabla_{j} \mathbf{e}_{i} A_{i} \\ &= \mathbf{e}_{i}\nabla_{i} (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla_{j} \nabla_{j} \mathbf{A} \\ &= \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla \cdot \nabla \mathbf{A} \end{align*}

네번째 등호는 ϵijkϵklm=(δilδjm−δimδjl)\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}=(\delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im} \delta_{jl})에 의해 성립한다.

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