📂복소해석

복소함수의 적분

정의 ¹

$$ g(t) := p(t) + i q(t) \qquad , t \in [a,b] $$

실함수 $p, q : [a,b] \to \mathbb{R}$ 에 대해 복소함수 $g : [a,b] \to \mathbb{C}$ 가 위와 같이 나타난다고 하자. 구간 $[a,b]$ 에서 $g$ 의 정적분은 다음과 같이 정의된다. $$ \int_{a}^{b} g(t) dt = \int_{a}^{b} p(t) dt + i \int_{a}^{b} q(t) dt $$ $t \in [a,b]$ 에 대해 경로 $\mathscr{C} : z(t) = x(t) + i y(t)$ 을 따르는 복소경로적분을 다음과 같이 정의한다. $$ \int_{\mathscr{C}} f(z) dz = \int_{a}^{b} f \left( z(t) \right) z’(t) dt $$

설명

호^arc 혹은 커브^curve $\mathscr{C} : z(t)$ 의 정의가 기하학에서는 중요하겠지만 복소해석 자체에서는 그다지 정확하게 할 이유가 없으니 조금 무시하고 넘어가도록 하자. 제대로 공부하고 싶으면 아래의 설명들에 집착하기 보다는 아예 미분기하 등에서 제대로 커브를 공부하든가 하고, 당장 눈앞에 있는 $\mathscr{C}$ 에 대해서는 직관적으로 개념만 받아들이고 넘어가도 충분하다.

• $\mathscr{C}$ 에 겹치는 부분이 없으면, 즉 다음을 만족하면 심플^simple 혹은 조르당^jordan이라 한다. $$ z \left( t_{1} \right) = z \left( t_{2} \right) \implies t_{1} = t_{2} \qquad , \forall t_{1}, t_{2} \in [a,b] $$

• 모든 곳에서 미분가능하고 미분계수가 $0$ 이 아니면, 즉 다음을 만족하면 스무스^smooth하다고 한다. $$ \exists z’(t) \ne 0 \qquad , \forall t \in [a,b] $$

• 유한한 (심플) 스무스 아크들의 끝과 끝을 연결^join한 것을 (심플) 컨투어^contour라 한다. 번역하면 등고선인데, 의미가 잘 통하지 않고 복소해석의 맥락에서는 컨투어를 시계반대방향^{anticlockwise}으로 따라 적분하는 경우에 쓰이는 게 대부분이기 때문에 그냥 $\mathscr{C}$ 를 경로로 순화할 수도 있다.

• $a \to b$ 방향으로 갈 때 $\mathscr{C}$ 라면, $b \to a$ 방향으로 갈때는 $-\mathscr{C}$ 과 같이 나타낸다. 매개변수로는 $\mathscr{C} : z(t) , a \le t \le b$ 일 때 다음과 같다. $$ -\mathscr{C} : z(-t) , -b \le t \le -a $$

• 정확히 양끝점의 위치만 같으면, 즉 $z(a) = z(b)$ 폐경로^{closed Contour}라고 한다.

다시 한 번 강조한다. 훌륭한 수학도라면 위의 설명들이 마음에 들지 않겠지만, 넘어가라. 다음의 성질들을 직관적으로 받아들일 수가 있는지가 훨씬 중요하다.

기초 성질

$f,g$ 가 $\mathscr{C}$ 에서 조각마다 연속이라고 하자.

• [1]: 모든 $\alpha , \beta \in \mathbb{C}$ 에 대해 $$ \int_{\mathscr{C}} \left( \alpha f(z) + \beta g(z) \right) dz = \alpha \int_{\mathscr{C}} f(z) dz + \beta \int_{\mathscr{C}} g(z) dz $$
• [2]: $\mathscr{C}$ 의 방향이 $a \to b \to c$ 이고 $a \to b$ 방향인 $\mathscr{C}_{1}$ 와 $b \to c$ 방향인 $\mathscr{C}_{2}$ 와 로 이루어져있으면 $$ \int_{\mathscr{C}} f(z) dz = \int_{\mathscr{C}_{1}} f(z) dz + \int_{\mathscr{C}_{2}} f(z) dz $$
• [3]: 방향이 뒤집하면 부호가 뒤집힌다. $$ \int_{ - \mathscr{C}} f(z) dz = - \int_{\mathscr{C}} f(z) dz $$