📂복소해석

복소해석에서의 영점

정의 ¹

$\alpha \in \mathbb{C}$ 가 함수 $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 의 $n$차 영점^{zero of Order $n$}이라는 것은 $\displaystyle \lim_{z \to \alpha} g(z) \ne 0$ 인 어떤 함수 $g$ 에 대해 $f$ 가 다음과 같이 나타날 수 있다는 것과 동치다. $$f(z) = (z-\alpha)^{n} g(z)$$

정리

영점은 고립되어^isolated 있다:

• 영점은 그 주변에 또 다른 영점이 존재하지 않게끔 하는 반경을 잡을 수 있다.
• $f$ 의 영점 $\alpha$ 에는 $z \in \mathcal{N} (\alpha) \setminus \left\{ \alpha \right\}$ 에서 $f (z) \ne 0$ 인 네이버후드 $\mathcal{N} (\alpha)$ 가 존재한다.

증명

일반성을 잃지 않고, $g$ 가 $f$ 의 $n$차 영점 $\alpha$ 에서 해석적이라고 가정하고 $g(\alpha) = 2 \beta \ne 0$ 라 적자.

$g$ 가 $\alpha$ 에서 연속이므로 모든 $\beta$ 에 대해 다음을 만족하는 $\delta > 0$ 가 존재해야한다. $$| z - \alpha | < \delta \implies \left| g(z) - g(\alpha) \right| < |\beta|$$ 앞서 $g(\alpha) = 2 \beta$ 라 적기로 했으므로 삼각부등식에 따라 $$| z - \alpha | < \delta \implies |g(z)| \ge \left| |g(\alpha)| - \left| g(z) - g(\alpha) \right| \right| > |\beta|$$ $|z-\alpha| < \delta$ 에서 $|g(z)| > |\beta|$ 이므로 $\alpha$ 는 $g$ 의 영점이 될 수 없다. $f(z) = (z-\alpha)^{n} g(z)$ 이라 두었으므로, 구체적으로 이 오픈 볼 $B \left( \alpha , \delta \right)$ 내부에서는 다음처럼 $\alpha$ 만 $f$ 의 영점이 된다. $$f(z) \begin{cases} = 0 & , \text{if } z = \alpha \\ \ne 0 & , \text{if } z \in B \left( \alpha , \delta \right) \setminus \left\{ \alpha \right\} \end{cases}$$

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같이보기

• 추상대수에서의 영