logo

바틀렛 항등식 📂수리통계학

바틀렛 항등식

정리

정칙조건:

  • (R0): 확률밀도함수 ffθ\theta 에 대해 단사다. 수식으로는 다음을 만족시킨다. θθ    f(xk;θ)f(xk;θ) \theta \ne \theta ' \implies f \left( x_{k} ; \theta \right) \ne f \left( x_{k} ; \theta ' \right)
  • (R1): 확률밀도함수 ff 는 모든 θ\theta 에 대해 같은 서포트를 가진다.
  • (R2): 참값 θ0\theta_{0}Ω\Omega내점interior point이다.
  • (R3): 확률밀도함수 ffθ\theta 에 대해 두 번 미분가능하다.
  • (R4): 적분 f(x;θ)dx\int f (x; \theta) dx 은 적분 기호를 넘나들며 θ\theta 에 대해 두 번 미분가능하다.

정칙조건 (R0)~(R4)를 만족한다고 하자.

  • [1] 제1항등식: E[logf(X;θ)θ]=0 E \left[ {{ \partial \log f ( X ; \theta ) } \over { \partial \theta }} \right] = 0
  • [2] 제2항등식: E[2logf(X;θ)θ2]+Var(logf(X;θ)θ)=0 E \left[ {{ \partial^{2} \log f ( X ; \theta ) } \over { \partial \theta^{2} }} \right] + \Var \left( {{ \partial \log f ( X ; \theta ) } \over { \partial \theta }} \right) = 0

유도

정칙조건을 사용해 직접연역한다.