📂함수

생존 함수

정의 ¹

$S(0)=1$ 이면서 증가하지 않는 함수 $S : [0,\infty) \to [0,1]$ 를 생존 함수^{survival function}라 정의한다.

설명

생존 함수란 쉽게 말해 시간 $t$ 에 생존해있을 확률 $S(t) \in [0,1]$ 을 매핑하는 함수다. 수학에서 생존이란 딱히 ‘살아있다’는 의미에 집착할 필요 없이 어떠한 사건이 일어날 때까지의 기간으로 추상화되며, 확률에 대한 맵핑이니만큼 자연스럽게 확률밀도함수와의 관계를 가진다. 생존이 끝나는 시점을 확률변수 $T$ 라고 하면, 누적분포함수 $F(t)$ 에 대해 $$F(t) = P (T \le t) = 1 - S(t)$$ 이며, 확률밀도함수 $f$ 에 대해 $$f(t) = {{ d } \over { dt }} F(t)$$ 와 같이 나타날 수 있으니, $T$ 의 확률밀도함수로부터 생존 함수를 거꾸로 유도해내기도 한다. 대부분 이렇게 사용하며, 위에서 소개한 정의는 확률에게조차 의존하지 않고 적을 수 있는 한 가장 일반적으로 적혀있다.

생존 분석에 주로 쓰이는 분포로는 지수 분포와 감마 분포, 베이불 분포 등이 있다.