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파동함수의 상대적 위상의 중요성 📂양자역학

파동함수의 상대적 위상의 중요성

설명

파동함수는 흔히 다음과 같이 복소지수함수로 표현된다.

ψ=Reiθ \psi = R e^{\i\theta}

이 때 수식에서 물리적으로 의미를 가지는 것은 ψ\psi가 아니라 ∣ψ∣2=R2\left| \psi \right|^{2} = R^{2}이기 때문에 위상 θ\theta의 값은 중요하지 않고, 바꿔서 다뤄도 상관없다.

다만 파동함수를 다른 두 파동함수의 합으로 나타내는 경우는 얘기가 다르다. 이때는 각 함수의 위상을 마음대로 바꾸면 안된다. 파동함수 ψ\psi가 다음과 같이 두 파동함수 ψ1\psi_{1}과 ψ2\psi_{2}의 합으로 나타난다고 하자.

ψ1=R1eiθ1,ψ2=R2eiθ2ψ=ψ1+ψ2 \psi_{1} = R_{1}e^{\i\theta_{1}}, \qquad \psi_2=R_{2}e^{\i\theta_2} \\ \psi = \psi_{1} + \psi_2

∣ψ∣2=ψ∗ψ=(ψ1∗+ψ2∗)(ψ1+ψ2)=∣ψ1∣2+∣ψ2∣2+ψ1∗ψ2+ψ2∗ψ1=R12+R22+R1R2ei(θ2−θ1)+R1R2ei(θ1−θ2)=R12+R22+R1R2[ei(θ2−θ1)+ei(θ1−θ2)]=R12+R22+2R1R2cos⁡(θ1−θ2) \begin{align} \left| \psi \right|^{2} = \psi^{\ast}\psi &= (\psi_{1}^{\ast}+\psi_2^{\ast})(\psi_{1}+\psi_2) \nonumber \\ &= | \psi_{1}|^{2} +|\psi_2|^{2}+ \psi_{1}^{\ast}\psi_2+\psi_2^{\ast}\psi_{1} \nonumber \\ &= {R_{1}}^{2}+{R_{2}}^{2}+R_{1}R_{2}e^{\i(\theta_2-\theta_{1})}+R_{1}R_{2}e^{\i(\theta_{1}-\theta_2)} \nonumber \\ &= {R_{1}}^{2}+{R_{2}}^{2}+R_{1}R_{2} \color{blue}{\left[ e^{\i(\theta_2-\theta_{1})}+e^{\i(\theta_{1}-\theta_2)} \right]} \nonumber \\ &= {R_{1}}^{2} + {R_{2}}^{2} +2R_{1}R_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_2) \end{align}

(1)(1)을 보면 식에 θ1−θ2\theta_{1} - \theta_{2}가 포함되므로, 각 파동함수의 위상을 바꿀 수 없다는 것을 알 수 있다. 파란부분의 풀이는 아래와 같다. 오일러 공식에 의해 eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta이므로

 ei(θ2−θ1)+ei(θ1−θ2)=cos⁡(θ2−θ1)+isin⁡(θ2−θ1)+cos⁡(θ1−θ2)+isin⁡(θ1−θ2)=[cos⁡(θ2−θ1)+cos⁡(θ1−θ2)]+[isin⁡(θ2−θ1)+isin⁡(θ1−θ2)]=2cos⁡(θ1−θ2) \begin{align*} &\quad\ e^{\i(\theta_2-\theta_{1})}+e^{\i(\theta_{1}-\theta_2)} \\ &= \cos (\theta_2-\theta_{1})+\i\sin (\theta_2-\theta_{1})+\cos (\theta_{1}-\theta_2)+\i\sin (\theta_{1}-\theta_2) \\ &= [ \cos (\theta_2-\theta_{1})+\cos (\theta_{1}-\theta_2)]+[\i\sin (\theta_2-\theta_{1})+\i\sin (\theta_{1}-\theta_2)] \\ &= 2\cos(\theta_{1}-\theta_2) \end{align*}