📂동역학

란체스터 법칙

법칙

제1법칙

근대전 혹은 근접전투에서 전투력은 부대 규모에 비례한다.

제2법칙

현대전 혹은 원거리전투에서는 전투력은 부대 규모의 제곱에 비례한다.

설명

란체스터 법칙^{lanchester’s Laws}은 두 집단의 전투에서 사상자의 수에 대한 법칙으로, 제1법칙(선형 법칙)과 제2법칙(제곱 법칙)으로 서술된다.

• 선형 법칙: 화기가 보급되기 전까지 전쟁이란 창과 방패가 부딪히는 육탄전이었다. 전열과 후열이 있으며 전열이 싸우고 있는동안 후열은 사거리가 닿지 않아 전투력을 발휘 할 수 없는 상황이 많은 것이다. 이에 따라 어느 한 쪽의 실제 병력이 더 많더라도 막상 교전에 참여하지 못하면 그 순간 그 곳만큼은 두 세력의 힘이 같다고 가정할 수 있다. 따라서 병력의 수가 적은 쪽은 전쟁의 양상이 선형 법칙을 따르도록 유도하는 것이 유리하다.

• 제곱 법칙: 원거리 전투에서의 공격은 공간적인 제약에 비교적 자유로워진다. 이를 조금 더 극단적으로 가정하자면 양쪽 부대의 모든 인원이 동시에 공격을 하고 있는 것으로 볼 수 있다. 따라서 병력의 수가 많은 쪽은 전쟁의 양상이 제곱 법칙을 따르도록 유도하는 것이 유리하다.

란체스터 법칙을 해석할 때 주의해야할 것은 이러한 진술들이 역사 속 전투들을 정확히 묘사하기 위한 게 아니라는 것이다. 정확히는 지휘부에서 전투를 해당 부대에게 유리하게 이끌어가는 전략을 내지 못했을 때, 상대방이 원하는 법칙을 따르게 된다.

대부분의 기동전술이나 고대전에서의 진법들은 규모에서의 우세를 실제 전투력 발휘로 이끌어내기 위한 것들이다. 동서고금을 막론하고 우세한 쪽은 수세에 몰린 적을 포위섬멸하고 싶어한다. 병사 하나하나의 전투력이 같은 수준으로 가정한다면 여럿이서 둘러싸서, 전열에서라도 일대다의 상황을 만드는 게 훨씬 유리하기 때문이다. 교전에 참여하는 병력이 늘어날수록 전투의 양상은 란체스터 제곱 법칙에 가까워진다.

반대로 수비전을 치르는 입장에서는 상대보다 규모에서 열세기 때문에 지형이든 성벽이든 동원할 수 있는 모든 것을 동원해 란체스터 선형 법칙을 따르게끔 해야한다. 뒤를 내주지 않고 최소한의 소모율로 버틴다면 원정에 나선 공격자는 보급 때문에 서두를 수밖에 없다.

이제 이러한 설명들을 수학과 함께, 인구 동역학적인 관점으로 풀어가보자.

모델

제1법칙

$$ \begin{align*} A ' =& - \beta \\ B ' =& - \alpha \end{align*} $$

제2법칙¹

$$ \begin{align*} A ' =& - \alpha B \\ B ' =& - \beta A \end{align*} $$

변수

• $A(t)$: $t$ 시점에서 집단 $A$ 의 개체수를 나타낸다.
• $B(t)$: $t$ 시점에서 집단 $B$ 의 개체수를 나타낸다.

파라미터

• $\alpha>0$: 집단 $A$ 에 대한 $B$ 의 공격 계수다.
• $\beta>0$: 집단 $B$ 에 대한 $A$ 의 공격 계수다.

유도

일반성을 잃지 않고, 전투 시작 전 부대의 규모(초기값)는 $A_{0} > B_{0} > 0$ 에서 시작하고 편의를 위해 $\alpha = \beta = c = 1$ 이라 하자. 양쪽 병사 개개인의 전투력이 모두 같다면 미분방정식 상으로 $A_{0} > B_{0}$ 이기 때문에 $A$ 가 질 일은 없다. 두 집단이 항복 없이 상대방이 완전히 전멸할 때까지 싸운다고 하면 $t \to \infty$ 일 때 $B(t) = 0$ 이다. 이제 $\displaystyle a := \lim_{t \to \infty} A(t)$ 을 계산함으로써 란체스터 법칙을 유도하려한다.

제1법칙의 유도

교전에 참가하는 인원이 일정한 수준으로 유지된다면 사상자 역시 일정할 것이므로 다음과 같이 상수항을 줌으로써 모델링한다. $$ \begin{align*} { { d A } \over { d t } } =& - \alpha = -1 \\ { { d B } \over { d t } } =& - \beta = -1 \end{align*} $$ 이를 $- d t$ 에 대해 정리하면 $$ - d t = d A = d B $$ 전투 시작 $t = 0$ 부터 전투 종료 $t = \infty$ 까지를 적분하면 $$ \int_{0}^{\infty} -1 dt = \int_{A_{0}}^{a} dA = \int_{B_{0}}^{0} dB $$ 여기서 좌변은 $a$ 를 알아내는데에 전혀 필요하지 않으니 신경쓸 필요가 없다. 가운데 변과 우변에 대해서만 정적분을 계산해보면 $$ a - A_{0} = 0 - B_{0} $$ $A$ 에 대해 정리해보면 $$ a = A_{0} - B_{0} $$ 다시 말해, 전투력은 단순히 부대 규모에만 비례하게 된다.

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제2법칙의 유도

교전에 모든 병력들이 참가한다고 가정하므로 공격력은 규모에 공격 계수를 곱한 형태로 나타나며, 다음과 같이 일차항을 줌으로써 모델링한다. $$ \begin{align*} { { d A } \over { d t } } =& - \alpha B = -B \\ { { d B } \over { d t } } =& - \beta A = -A \end{align*} $$ 식을 $A(t),B(t)$ 에 대해 정리하면 $$ { { 1 } \over { - B(t) } } dA(t) = { { 1 } \over { - A(t) } } dB(t) $$ 양변에 $-AB$ 를 곱하면 $$ A(t) dA(t) = B(t) dB(t) $$ 전투 시작 $t = 0$ 부터 전투 종료 $t = \infty$ 까지 적분하면 $$ \int_{A_{0}}^{a} A dA = \int_{B_{0}}^{0} B dB $$ 정적분을 계산해보면 $$ {{ a^{2} - A_{0}^{2} } \over { 2 }} = {{ 0 - B_{0}^{2} } \over { 2 }} $$ $a^{2}$ 에 대해 정리하면 $$ a^{2} = A_{0}^{2} - B_{0}^{2} $$ 다시 말해, 전투력은 부대 규모의 제곱에 비례하게 된다.

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예시

이영호(랜덤 저그)와 김택용(프로토스)의 스폰빵 중에 나온 장면으로, 7분 59초부터(시작 시간이 걸려있으니 재생하면 바로 볼 수 있다.) 단 3기의 질럿이 12마리의 저글링과 싸워 2기가 죽고 8마리의 저글링을 죽였다. 원래 유닛 하나의 성능으로는 저글링보다 질럿이 강하기 때문에 $\alpha>\beta$ 와 같이 전력이 대칭적이지 않은 상황으로 볼 수 있으며, 자원적으로는 둘 다 미네랄 $300$ 에 해당하는 상황이다. 이는 전투 그 자체에서는 중요한 점이 아니니 무시하자.

영상에서 질럿은 미네랄 뒤에 배치되어 지형적인 이점을 보고 있다. 저글링은 그 수가 많음에도 불구하고 자리가 부족해서 주변을 빙글빙글 돌며 실제 전투에 참가하지 못하는 모습을 보인다. 그에 비해 질럿은 많아도 4마리 이상의 저글링을 상대하지 않으며 딜로스 없이 공격을 하고 있다. 이는 개활지에서 그냥 싸먹힐 수 있는 구도를 피해 란체스터 선형 법칙의 양상을 따른 것으로 볼 수 있다.