매개변수 방정식

빌드업

2차원 평면위 입자의 위치를 수식으로 표현하려는 상황을 생각해보자. 입자가 움직이는 경로는 다음 그림과 같다.

위 그림의 경로를 $x$에 대한 함수, 즉 $y = f(x)$꼴로 나타내는 것은 불가능하다. $x_{0}$와 같은 점에서는 대응되는 $y$값이 여러개이기 때문이다. (함수는 정의역의 한 점 $x$를 하나의 $y$에 대응시키는 것이다.) 이럴 때는 $x$값과 $y$값을 각각 새로운 변수에 대한 함수로 나타내는 것이 자연스럽다.

$$ x = f(t) \qquad y = g(t) $$

정의

$n$개의 변수 $x, y, z, \dots$를 새로운 하나의 변수 $t$에 대한 함수로 나타낸 것을 매개변수 방정식^{parametric equation}이라 한다.

$$ \begin{align*} x &= f(t)\\ y &= g(t)\\ z &= h(t)\\ &\ \ \vdots \end{align*} $$

이때 변수 $t$를 매개변수^parameter라 한다.

예시

반지름이 $r$인 원 운동을 하는 입자의 위치는 다음과 같은 매개변수 방정식으로 표현된다

$$ x(t) = r \cos t \qquad y(t) = r \sin t $$