1+1+1+1+1+⋯=-12 의 해석적 증명
정리
$$ \begin{align*} & 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + \cdots \\ =& \sum_{n \in \mathbb{N}} {{ 1 } \over { n^{0} }} \\ =& \zeta (0) \\ =& -{{ 1 } \over { 2 }} \end{align*} $$
설명
양수를 계속 더했는데 어떻게 음수가 나오는가에만 집중한다면 이 포스트를 절대 이해할 수 없을 것이다. 핵심은 $\sum_{n \in \mathbb{N}} 1$ 이 디리클레 급수 $\displaystyle \sum_{n \in \mathbb{N}} {{ 1 } \over { n^{0} }}$ 으로 표현된다는 것이고, 그 해석적 연속인 리만 제타 함수 $\zeta$ 의 함숫값 $\zeta (0)$ 으로써 계산한다는 것이다. 정확히 증명을 이해해보려고 하지도 않고 본인이 쉽게 다룰 수 있는 부분만 가져와 “어쨌든 등식이 성립하지 않잖아요?“나 “이걸로 모순 보일 수 있는데요?” 같은 태도를 보일거라면 차라리 모르느니만 못하다. 엄밀히 말해 이 포스트에서 소개하는 것은 사실 등식 $$ \zeta (0) = - {{ 1 } \over { 2 }} $$ 에 대한 증명뿐인 것에 주의하자.
증명1
리만 제타 함수는 $\mathbb{C} \setminus \left\{ 1 \right\}$ 에서 해석적이므로 $s = 0$ 에서 연속이고 따라서 $$ \zeta (0) = \lim_{s \to 0} \zeta (s) $$
리만 함수 방정식: $$ \zeta (s) = 2^{s} \pi^{s - 1} \sin \left( {{ \pi s } \over { 2 }} \right) \Gamma (1-s) \zeta (1-s) $$
$z=0$ 에서 감마 함수 $\Gamma (1-z)$ 의 함숫값은 $\Gamma (1) = 0! = 1$ 이므로 $s \to 0$ 일 때 $$ 2^{s} \to 1 \\ \pi^{s-1} \to {{ 1 } \over { \pi }} \\ \Gamma (1-s) \to 1 $$ 다. 한편 극한 $\displaystyle \lim_{s \to 0}$ 에서 $$ \sin \left( {{ \pi s } \over { 2 }} \right) \to 0 \\ \zeta (1-s) \to \infty $$ 는 캔슬링 될 것이다.
사인 함수의 테일러 전개: $$ \sin x=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ 2n+1 } }{ (2n+1)! }{ { (-1) }^{ n } } } $$
리만 제타 함수의 로랑 전개: $$ \zeta (s) = {{ 1 } \over { s-1 }} + \sum_{n=0}^{\infty} \gamma_{n} {{ (1-s)^{n} } \over { n! }} \qquad , s 1 $$
여기서 $\gamma_{n}$ 은 $n$번째 스틸체스 상수로 다음과 같이 정의된다.
$$ \gamma_{n} := \lim_{m \to \infty} \sum_{k=1}^{m} \left( {{ \left( \log k \right)^{n} } \over { k }} - {{ \left( \log m \right)^{n} } \over { n+1 }} \right) $$
$\displaystyle \sin \left( {{ \pi s } \over { 2 }} \right)$ 의 테일러 전개와 $\zeta (1-s)$ 의 로랑 전개에 따라
$$ \begin{align*} \lim_{s \to 0} \zeta (s) =& \lim_{s \to 0} 2^{s} \pi^{s - 1} \sin \left( {{ \pi s } \over { 2 }} \right) \Gamma (1-s) \zeta (1-s) \\ =& \lim_{s \to 0} 1 \cdot {{ 1 } \over { \pi }} \sin \left( {{ \pi s } \over { 2 }} \right) \cdot 1 \cdot \zeta (1-s) \\ =& {{ 1 } \over { \pi }} \lim_{s \to 0} \sin \left( {{ \pi s } \over { 2 }} \right) \zeta (1-s) \\ =& {{ 1 } \over { \pi }} \lim_{s \to 0} \left[ {{ \pi s } \over { 2 }} - {{ \pi^{3} s^{3} } \over { 48 }} + \cdots \right] \left[ -{{ 1 } \over { s }} + \sum_{n=0}^{\infty} \gamma_{n} {{ s^{n} } \over { n! }} \right] \\ =& {{ 1 } \over { \pi }} \lim_{s \to 0} \left[ - {{ \pi } \over { 2 }} + O (s) \right] \\ =& - {{ 1 } \over { 2 }} \end{align*} $$
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