📂동역학

수리생물학에서의 앨리 효과

앨리 효과란? ¹

개체군의 밀도가 낮을 때 인구수가 감소하는 효과를 앨리 효과^{Allee effect}라 한다. 수식적으로는 다음과 같이 모델에서 $N$ 에 대한 함수 $a: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 를 위로 볼록한 컨벡스 함수로 두어 표현한다.

$$ \dot{N} = a(N) N $$

변수

• $N(t)$: $t$ 시점에서 집단의 개체수를 나타낸다.

예시

앨리 이펙트는 예로써 함수 $a$ 를 다음과 같은 이차함수로 두어서 가정할 수 있다.

$$ a(N) := - a_{2} N^{2} + a_{1} N - a_{0} \qquad , a_{2} ,a_{1}, a_{0} > 0 $$

개체군의 밀도가 낮을 때 인구수가 감소한다는 것은 유성생식을 하는 종이 짝을 찾지 못하는 상황으로 볼 수 있다. 스스로 번식할 수 있는 개체라면 같은 먹이와 생활 영역을 두고 경쟁할 동족이 없기 때문에 동족이 없을수록 번식하기 쉽겠지만, 짝짓기를 통해 번식하는 종의 경우엔 동족이 별로 없는 것 자체가 멸종의 원인일 수 있는 것이다.

유도

로지스틱 성장 모델: $$ \dot{N} = {{ r } \over { K }} N ( K - N ) $$

로지스틱 성장 모델에서 전체 개체가 아닌 개별 개체의 평균적 성장률은 양변을 $N$ 으로 나눔으로써 얻을 수 있다. $$ {{ \dot{N} } \over { N }} = {{ r } \over { K }} ( K - N ) $$ 이를 그래프로 나타내면 위와 같이 개별 성장률이 선형으로 나타나는 것을 확인할 수 있다. 개체수가 너무 적을 땐 오히려 성장을 못하는 것을 반영할 수 있도록 수정하자.

위와 같이 위로 볼록한 함수 $a$ 를 생각해보면 $$ {{ \dot{N} } \over { N }} = a(N) $$ 는 앨리 이펙트를 적용한 성장 모델이 된다.

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