📂미분적분학

교대급수 판정법

정리¹

다음의 조건을 만족하는 교대급수 $\sum\limits_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n-1}b_{n}$ $(b_{n} \gt 0)$는 수렴한다.

1. $b_{n+1} \le b_{n} \quad \forall n$.
2. $\lim\limits_{n \to \infty} b_{n} = 0$.

증명

우선 짝수번째 항까지의 부분합을 생각하자.

$$ \begin{align*} s_{2} &= b_{1} - b_{2} \ge 0 \\ s_{4} &= s_{2} + (b_{3} - b_{4}) \ge s_{2} \\ s_{6} &= s_{4} + (b_{5} - b_{6}) \ge s_{4} \\ &\quad \vdots \\ s_{2n} &= s_{2n-2} + (b_{2n-1} - b_{2n}) \ge s_{2n-2} \end{align*} $$

따라서 다음이 성립한다.

$$ 0 \le s_{2} \le s_{4} \le \cdots \le s_{2n} \le \cdots $$

한편 $s_{2n}$은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$ s_{2n} = b_{1} - (b_{2} - b_{3}) - (b_{4} - b_{5}) - \cdots - (b_{2n-2} - b_{2n-1}) - b_{2n} $$

괄호안의 모든 항과 $b_{2n}$이 양수이므로, 모든 $n$에 대해서 $s_{2n} \lt b_{1}$가 성립한다. 즉 위로 유계이다. 단조이고 유계인 수열은 수렴하므로, $s_{2n}$은 수렴한다.

$$ \lim\limits_{n \to \infty} s_{2n} = s $$

이제 홀수번째 항까지의 부분합을 생각해보면, 다음과 같이 $s$로 수렴함을 알 수 있다.

$$ \begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty} s_{2n + 1} &= \lim\limits_{n \to \infty} s_{2n} + b_{2n + 1} \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} s_{2n} + \lim\limits_{n \to \infty} b_{2n + 1} \\ &= s + 0 \\ &= s \end{align*} $$

보조 정리

$\lim\limits_{n \to \infty} a_{2n} = L$이고 $\lim\limits_{n \to \infty} a_{2n+1} = L$이면 $\lim\limits_{n \to \infty} a_{n} = L$이다.

위의 보조 정리에 의해서 $\sum\limits_{n = 1}^{\infty} s_{n} = s$이다. 즉 급수 $\sum\limits_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n-1}b_{n}$는 수렴한다.

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