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내적 공간에서 0의 성질 📂힐베르트공간

내적 공간에서 0의 성질

정리

(X,⟨⋅,⋅⟩)\left( X, \left\langle \cdot,\cdot \right\rangle \right)을 내적 공간이라고 하자.

(a) 모든 x∈X\mathbf{x}\in X에 대해서 다음이 성립한다.

⟨0,x⟩=0 \left\langle \mathbf{0},\mathbf{x} \right\rangle = 0

(b) 모든 x∈X\mathbf{x}\in X에 대해서 아래의 식을 만족하는 XX의 원소는 오직 0\mathbf{0}뿐이다.

∀x∈X, ⟨x,y⟩=0  ⟹  y=0 \forall \mathbf{x}\in X,\ \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle = 0 \implies \mathbf{y}=\mathbf{0}

(c) y,z∈X\mathbf{y}, \mathbf{\mathbf{z}} \in X라고 하자. 그리고

⟨x,y⟩=⟨x,z⟩,∀x∈X \begin{equation} \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle =\left\langle \mathbf{x}, \mathbf{z} \right\rangle, \quad \forall \mathbf{x}\in X \end{equation}

라고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다.

y=z \mathbf{y}=\mathbf{z}

설명

볼드체 0\mathbf{0}은 벡터공간 XX의 덧셈에 대한 항등원으로서의 영벡터를 의미한다. 00은 상수 00을 의미한다.

증명

(a)

내적의 정의에 의해

⟨0,x⟩= ⟨x−x,x⟩= ⟨x,x⟩−⟨x,x⟩= 0 \begin{align*} \left\langle \mathbf{0},\mathbf{x} \right\rangle =&\ \left\langle \mathbf{x}-\mathbf{x},\mathbf{x} \right\rangle \\ =&\ \left\langle \mathbf{x},\mathbf{x} \right\rangle -\left\langle \mathbf{x},\mathbf{x} \right\rangle \\ =&\ 0 \end{align*}

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(b)

0\mathbf{0}이 아닌 원소 y∈X\mathbf{y} \in X에 대해서 (a) 가 성립한다고 가정하자. 그러면 y\mathbf{y}는 XX의 모든 원소와의 내적이 00이여야 하므로 자기 자신과의 내적도 00이다.

⟨y,y⟩=0 \left\langle \mathbf{y},\mathbf{y} \right\rangle = 0

그런데 이는 내적의 정의에 모순되므로 (a) 를 만족하는 원소는 오직 0\mathbf{0}뿐이다.

■

(c)

(3)(3)을 가정하자. 그러면

⟨x,y−z⟩=0∀x∈X \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y}-\mathbf{z} \right\rangle = 0 \quad \forall \mathbf{x}\in X

이고 (b) 에 의해

y−z= 0  ⟹  y= z \begin{align*} && \mathbf{y}-\mathbf{z} =&\ \mathbf{0} \\ \implies && \mathbf{y} =&\ \mathbf{z} \end{align*}

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