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내적 공간에서 직교성, 직교 집합, 정규 직교 집합 📂힐베르트공간

내적 공간에서 직교성, 직교 집합, 정규 직교 집합

정의1

(X,⟨⋅,⋅⟩)\left( X, \left\langle \cdot, \cdot \right\rangle \right)를 내적 공간이라고 하자. 두 원소 x,y∈X\mathbf{x}, \mathbf{y}\in X가 ⟨x,y⟩=0\left\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \right\rangle =0을 만족하면 y\mathbf{y}와 x\mathbf{x}는 서로 직교orthogonal한다고 하고 다음과 같이 표기한다.

x⊥y \mathbf{x} \perp \mathbf{y}

XX의 원소들의 집합 {xk}k∈N\left\{ \mathbf{x}_{k} \right\}_{k\in \mathbb{N}}이 다음의 식을 만족하면 직교 시스템orthogonal system , 혹은 직교 집합orthogonal set이라 한다.

⟨xk,xℓ⟩=0∀k≠ℓ \left\langle \mathbf{x}_{k}, \mathbf{x}_{\ell} \right\rangle =0\quad \forall k\ne \ell

직교 시스템 {xk}k∈N\left\{ \mathbf{x}_{k} \right\}_{k\in \mathbb{N}}이 다음의 식을 만족하면 정규직교 시스템orthonormal system , 혹은 정규직교 집합orthonormal set 이라 한다.

∥xk∥=1∀k∈N \left\| \mathbf{x}_{k} \right\| =1\quad \forall k\in \mathbb{N}

설명

내적 공간에서 놈은 ∥⋅∥:=⟨⋅,⋅⟩\left\| \cdot \right\|:=\sqrt{\left\langle \cdot,\cdot \right\rangle }와 같이 정의되므로 정규직교 시스템의 정의를 다시 적으면 다음과 같다.

∥xk∥=⟨xk,xℓ⟩={1if k=ℓ0if k≠ℓ \left\| \mathbf{x}_{k} \right\| = \left\langle \mathbf{x}_{k},\mathbf{x}_{\ell} \right\rangle = \begin{cases} 1 & \text{if}\ k=\ell \\ 0 & \text{if}\ k\ne \ell \end{cases}

또한 직교 시스템이 굳이 가산 집합에 대해서 정의되어야할 필요는 없다.

정의2

AA를 임의의 인덱스 집합, α\alpha, β\beta를 AA의 인덱스라고 하자. XX의 원소들의 집합 {xα}α∈A\left\{ \mathbf{x}_{\alpha} \right\}_{\alpha \in A}가 다음의 식을 만족하면 직교 시스템, 혹은 직교 집합 이라 한다.

⟨xα,xβ⟩=0∀α≠β \left\langle \mathbf{x}_{\alpha}, \mathbf{x}_{\beta} \right\rangle =0\quad \forall \alpha \ne \beta

직교 시스템 {xα}α∈A\left\{ \mathbf{x}_{\alpha} \right\}_{\alpha \in A}가 다음의 식을 만족하면 정규직교 시스템 혹은 정규직교 집합 이라 한다.

∥xα∥=1∀α∈A \left\| \mathbf{x}_{\alpha} \right\| =1\quad \forall \alpha \in A

설명

따라서 정규직교 시스템 {xα}α∈A\left\{ \mathbf{x}_{\alpha} \right\}_{\alpha \in A}에 대해서 다음의 식을 얻는다.

⟨xα,xβ⟩={1if α=β0if α≠β \left\langle \mathbf{x}_{\alpha},\mathbf{x}_{\beta} \right\rangle =\begin{cases} 1 & \text{if}\ \alpha=\beta \\ 0 & \text{if}\ \alpha \ne \beta \end{cases}

  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p66-67 ↩︎

  2. Walter Rudin, Real and Complex Analysis (3rd Edition, 1987), p82-83 ↩︎