📂초함수론

테스트 함수 공간은 슈바르츠 공간의 진 부분집합임을 증명

정리¹

$\mathcal{D}$가 테스트 함수 공간, $\mathcal{S}$가 슈바르츠 공간이라고 하자. 그러면 다음의 식이 성립한다.

$$ \mathcal{D} \subsetneq \mathcal{S} $$

증명

전략: 우선 모든 테스트 함수가 슈바르츠 공간에 속함을 보인 뒤, 슈바르츠 함수 중에서 테스트 함수가 아닌 예를 보임으로써 증명한다.

슈바르츠 함수

다음의 두 조건을 만족하는 $\phi$를 슈바르츠 함수라고 한다.

• (a) $\phi \in C^{\infty}$
• (b) 모든 멀티 인덱스 $\alpha$, $\beta$에 대해서 $\left| x^{\beta}D^{\alpha}\phi (x) \right| <\infty$

임의의 테스트 함수 $\phi$가 주어졌다고 하자. $\phi \in C_{c}^{\infty}$이므로 조건 (a) 를 만족한다. $\phi$의 서포트는 유계이므로 아래의 식을 만족하는 $r>0$이 존재한다.

$$ \mathrm{supp}\phi \subset \overline{B}(r) $$

이때 $\overline{B}(r)$은 원점이 중심이고 반경이 $r$인 닫힌 볼이다. 또한 테스트 함수의 성질에 의해 임의의 멀티 인덱스 $\alpha$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ \mathrm{supp}D^{\alpha}\phi\subset \mathrm{supp}\phi \subset \overline{B}(r) $$

여기서 두 가지 경우로 나누어 생각해보자.

• Case 1. $x \notin \overline{B}(r)$

  그러면 $D^{\alpha}\phi (x)=0$이고

  $$ \left| x^{\beta}D^{\alpha}\phi (x) \right|=0 <\infty $$

• Case 2. $x \in \overline{B}(r)$

  $D^{\alpha}\phi (x)$는 연속 함수이고, 연속 함수는 컴팩트 공간에서 최댓값, 최솟값을 가지므로 어떤 양수 $K>0$에 대해서 다음의 식이 성립한다.

  $$ \left| x^{\beta}D^{\alpha}\phi (x) \right|\le r^{\beta}K <\infty $$

  따라서 $\phi \in \mathcal{S}$이므로 $\mathcal{D}\subseteq \mathcal{S}$가 성립한다. 이제 다음과 같은 함수를 생각해보자.

  $$ \phi (x)=e^{-x^{2}} $$

  그러면 $\phi \in C^{\infty}$임은 자명하다. 그런데 $\phi (x)\ne0, \forall x\in \mathbb{R}$이므로 $\phi$는 컴팩트 서포트를 가지지 못한다. 따라서 $\phi$는 테스트 함수가 아니다. 이제 $\phi \in \mathcal{S}$임을 보이면 증명이 끝난다. 연쇄 법칙에 의해서 $D^{\alpha}\phi$는 $\phi$와 임의의 다항식 $P$의 곱으로 나타낼 수 있다.

  $$ D^{\alpha}\phi (x) = P(x)\phi (x) $$

  따라서 아래의 식이 성립한다.

  $$ \begin{equation} \left| x^{\beta}D^{\alpha}\phi (x) \right| =\frac{\left| x^{\beta}P(x) \right| }{e^{x^{2}}} \label{eq1} \end{equation} $$

  분자는 다항식, 분모는 지수함수이므로 다음의 식이 성립한다.

  $$ \lim \limits_{x\to \pm\infty} \frac{\left| x^{\beta}P(x) \right| }{e^{x^{2}}}=0 $$

  따라서 모든 $\varepsilon >0$에 대해서 아래의 식이 성립하는 $N>0$이 존재한다.

  $$ \left| x \right| > N \implies \frac{\left| x^{\beta}P(x) \right| }{e^{x^{2}}} < \varepsilon $$

  이제 $\left| x \right| \le N$일 때를 생각해보자. $[-N,N]$은 컴팩트 셋이고 $\eqref{eq1}$은 연속함수이므로 어떤 양수 $M>0$에 대해서 바운드된다. 이제 $C_{\alpha,\beta}=\max \left\{ M,\varepsilon \right\}$라고 하면 다음이 성립한다.

  $$ \left| x^{\beta}D^{\alpha}\phi (x) \right| \le C_{\alpha,\beta} $$

  따라서 $\phi \in \mathcal{S}$이다. 그러므로 $\phi \notin \mathcal{D}$이고 $\phi \in \mathcal{S}$이므로 다음이 성립한다.

  $$ \mathcal{D} \subsetneq \mathcal{S} $$

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