📂동역학

라살 불변 원리 증명

원리

빌드업

공간 $X$ 와 함수 $f : X \to X$ 에 대해 다음과 같은 벡터필드가 미분 방정식으로 주어져 있다고 하자. $$\dot{x} = f(x)$$ 플로우 $\phi_t \left( \cdot \right)$ 하에서의 컴팩트 양불변집합을 $\mathcal{M} \subset \mathbb{R}^{n}$ 이라 하자.

$\mathcal{M}$ 에서 랴푸노프 함수 $V : \mathcal{M} \to \mathbb{R}$ 가 정의되어 있다고 할 때, 다음의 두 집합을 생각해보자. $$E := \left\{ x \in \mathcal{M} : V ' (x) = 0 \right\}$$ 이 $E$ 에 대해 다음과 같이 정의된 집합 $M$ 을 양불변부^{positively Invariant Part}라고 부른다. $$M:=\left\{ \text{The union of all trajectories that start in E and remain in E for all } t >0 \right\}$$

라살 불변 원리^{lasalle Invariance Principle}

모든 $x \in \mathcal{M}$ 에 대해 $t \to \infty$ 일 때 $\phi_{t} (x) \to M$ 이다.

증명 ¹

전략: 랴푸노프 함수의 정의와 오메가 리미트 셋의 성질이 주로 쓰인다.

랴푸노프 함수의 정의: 공간 $X$ 와 함수 $f : X \to X$ 에 대해 다음과 같은 벡터필드가 미분 방정식으로 주어져 있다고 하자. $$\dot{x} = f(x)$$ 위와 같은 자율 시스템의 한 점 $x_{0} \in X$ 이 주어져 있다고 할 때, $x_{0}$ 의 네이버후드 $\mathcal{N} \left( x_{0} \right)$ 에서 정의된 스칼라 함수 $V \in C^{1} \left( \mathcal{N} (x_{0}) , \mathbb{R} \right)$ 가 다음의 조건을 만족하면 랴푸노프 함수^{Liapunov function}라고 한다.

• (i): $V(x_{0}) = 0$ 이고, $x \ne x_{0}$ 이면 $V(x) > 0$
• (ii): $x \in \mathcal{N} \left( x_{0} \right) \setminus \left\{ x_{0} \right\}$ 에서 $V ' (x) \le 0$

오메가 리미트 셋의 성질: 전체 공간이 유클리드 공간 $X = \mathbb{R}^{n}$ 이고 플로우 $\phi_{t} ( \cdot )$ 에서 컴팩트 양불변집합 $\mathcal{M}$ 의 한 점 $p \in \mathcal{M}$ 이 주어져 있다고 하자:

• [1]: $\omega (p) \ne \emptyset$
• [2]: $\omega (p)$ 는 닫힌 집합이다.
• [3]: $\omega (p)$ 는 플로우에 불변이다. 즉, $\omega (p)$ 는 오빗들의 합집합이다.
• [4]: $\omega (p)$ 는 연결 공간이다.

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먼저 오메가 리미트 셋 $\omega (x)$ 에서 $V$ 는 상수함수 $V = \chi$ 가 됨을 보이자. $$\overline{x} \in \omega (x) \\ \chi = V \left( \overline{x} \right)$$ 라고 두면 $V$ 는 플로우 $\phi_{t}$ 에 따라 증가하지 않는다. 다시 말해, $t_{i} \le t \le t_{i+1}$ 에 대해 $$V \left( \phi_{t_{i}} (x) \right) \ge V \left( \phi_{t} (x) \right) \ge V \left( \phi_{t_{i+1}} (x) \right)$$ 이고, 랴푸노프 함수 $V$ 의 연속성에 따라 $\chi$ 는 $\left\{ V \left( \phi_{t} (x) \right) : t \ge 0 \right\}$ 의 하한 중 가장 큰 값, 즉 인피멈이 된다. 오메가 리미트 셋 $\omega (x)$ 은 플로우 하에서 불변이므로 $\phi_{t} ( \overline{x} )$ 역시 $\phi_{t}(x)$ 의 오메가 리미트 포인트가 된다. $\chi$ 는 위에서 $\left\{ V \left( \phi_{t} (x) \right) : t \ge 0 \right\}$ 의 인피멈이었으므로 $$V \left( \phi_{t} \left( \overline{x} \right) \right) = \chi$$ $\chi$ 는 상수이므로 $\omega (x)$ 에서 $V’ = 0$ 이고, $E$ 의 정의에 따라 $\omega (x) \subset E$ 다. 한편 $\omega (x)$ 는 불변집합이고 $M$ 의 정의에 따라 $\omega (x) \subset M$ 이기도 하다. 따라서, $t \to \infty$ 일 때 $\phi_{t} (x) \to M$ 이다.

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