📂해석개론

해석학에서 평균값 정리

정리

두 함수 $f$, $g$가 구간 $[a,b]$에서 연속이고, $(a,b)$에서 미분 가능한 함수라고 하자. 그러면 아래의 식을 만족하는 $x \in (a,b)$가 존재한다.

$$[f(b)-f(a)]g^{\prime}(x)=[g(b)-g(a)]f^{\prime}(x)$$

---

양 끝점 $a$, $b$에서는 미분가능성이 필요하지 않음에 주의하라.

설명

이는 고등학교와 미분적분학에서 배운 평균값 정리를 일반화 한 것이다. $g(x)=x$라고 두면 흔히 보던 꼴이 된다.

따름정리: 평균값 정리

함수 $f$가 $[a,b]$에서 연속이고, $(a,b)$에서 미분 가능한 실수 함수라고 하자. 그러면 아래의 식을 만족하는 $x\in (a,b)$가 존재한다.

$$f(b)-f(a)=(b-a)f^{\prime}(x)$$

증명

함수 $h$를 다음과 같이 두자.

$$h(t) = [f(b)-f(a)]g(t) -[g(b)-g(a)]f(t)\quad (a\le t \le b)$$

그러면 $h$는 연속 함수의 합이므로 $[a,b]$에서 연속이다. 또한 미분 가능한 함수의 합이므로 $(a,b)$에서 미분가능하다. 그러면 다음이 성립한다.

$$h^{\prime}(t)= [f(b)-f(a)]g^{\prime}(t) -[g(b)-g(a)]f^{\prime}(t)$$

그러면 또한 다음의 식이 성립한다.

$$\begin{equation} \begin{aligned} h(a) &= [f(b)-f(a)]g(a)-[g(b)-g(a)]f(a) \\ &= f(b)g(a)-f(a)g(b) \\ &= [f(b)-f(a)]g(b)-[g(b)-g(a)]f(b) \\ &= h(b) \end{aligned} \label{eq1} \end{equation}$$

이제 어떤 $x\in (a,b)$에 대해서 $h^{\prime}(x)=0$임을 보이면 증명이 끝난다.

• Case 1. $h$가 상수인 경우

  모든 $x \in (a,b)$에 대해서 $h^{\prime}(x)=0$이다.

• Case 2. 어떤 $t\in (a,b)$에 대해서 $h(t) > h(a)$인 경우

  최대최소정리에 의해서 $h$의 함숫값이 최대가 되는 $x\in [a,b]$가 존재한다. 그러면 $\eqref{eq1}$에 의해서 $x \in (a,b)$이다. 그러면 $x$가 $h$의 극대이고 $x$에서 미분가능하므로 $h^{\prime}(x)=0$이다.

• Case 3. 어떤 $t \in (a,b)$에 대해서 $h(t)<h(a)$인 경우

  이 경우도 Case 2. 와 마찬가지로 $h$의 극소 $x\in (a,b)$가 존재하고 $h^{\prime}(x)=0$이다.

■