힐베르트 공간에서 약 수렴
정의
$(H,\langle \cdot \rangle)$를 힐베르트 공간, $\left\{ x_{n} \right\}$를 $H$의 수열이라고 하자. 모든 $y\in H$에 대해서 아래의 식이 성립할 때 $\left\{ x_{n} \right\}$이 $x$로 약 수렴한다converge weakly고 말하고 $x_{n} \rightharpoonup x$라고 나타낸다. $$ \langle x_{n}, y \rangle \to \langle x , y \rangle ,\quad \forall y\in H $$
weak의 w를 따서 다음과 같이 표기하기도 한다.
$$ x_{n} \overset{\text{w}}{\to} x $$
혹은
$$ x_{n} \to x \quad \text{weakly} $$
라고 표기한다.
설명
약 수렴이 아님을 강조하기 위해 기존의 수렴한다는 용어를 강하게 수렴한다고 쓰기도 한다. 즉,
$$ \begin{align*} &x_{n} \text{ converges to } x \\ =\ & x_{n} \text{ converges in norm to } x \\ =\ & x_{n} \text{ converges strongly to } x \end{align*} $$
한편 약 수렴이라는 명명은 실제로 약 수렴이 수렴을 보장하지 못하기 때문이다. 반대로 놈 수렴은 거리공간에서의 수렴과 사실상 같기 때문에 많은 경우에서 놈 수렴과 수렴을 엄밀하게 구분해서 사용하지 않는다. 놈 공간에서는 거리를 다음과 같이 정의할 수 있다.
$$ d(x,y):=\left\| x-y \right\|,\quad x,y\in H $$
그러면 $\lim \limits_{n \to \infty}x_{n}=x$을 만족하는 $\left\{ x_{n} \right\}$에 대해서
$$ \lim \limits_{n \to \infty} d(x_{n},y)=d(x_{n},y) \iff \lim \limits_{n \to \infty} \left\| x_{n}-y \right\| =\left\| x-y \right\| $$
가 성립한다. 하지만 내적의 경우에는 성립하지 않음을 알 수 있다. 코시-슈바르츠 부등식에 의해 다음의 식을 얻는다.
$$ \left| \left\langle x_{n} , y \right\rangle \right| \le \left\| x_{n} \right\| \left\| y \right\| $$
따라서
$$ \lim \limits_{n \to \infty} \left\| x_{n}-x \right\|=0 \begin{array}{c} \implies \\ \ \ \not \!\!\!\!\impliedby \end{array} \lim \limits_{n \to \infty} \left\langle x_{n}-x,y \right\rangle=0,\ \forall y\in H $$
임을 알 수 있다.
$$ x_{n} \to x \implies x_{n} \rightharpoonup x $$
증명
$x_{n} \to x$라고 가정하자. 그러면 코시-슈바르츠 부등식에 의해,
$$ \begin{align*} \left| \langle x_{n},y \rangle -\langle x,y \rangle \right| &= \left| \langle x_{n}-x, y \rangle \right| \\ & \le \left\| x_{n}-x \right\| \left\| y \right\| \end{align*} $$
$\lim \limits_{n\to\infty} \left\| x_{n} -x \right\|=0$이라고 가정했으므로,
$$ \lim \limits_{n\to\infty} \left| \langle x_{n},y \rangle -\langle x,y \rangle \right| =\lim \limits_{n\to\infty} \left\| x_{n}-x \right\| \left\| y \right\|=0 $$
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