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힐베르트 공간에서 약 수렴 📂힐베르트공간

힐베르트 공간에서 약 수렴

정의

(H,⟨⋅⟩)(H,\langle \cdot \rangle)를 힐베르트 공간, {xn}\left\{ x_{n} \right\}를 HH의 수열이라고 하자. 모든 y∈Hy\in H에 대해서 아래의 식이 성립할 때 {xn}\left\{ x_{n} \right\}이 xx로 약 수렴한다converge weakly고 말하고 xn⇀xx_{n} \rightharpoonup x라고 나타낸다. ⟨xn,y⟩→⟨x,y⟩,∀y∈H \langle x_{n}, y \rangle \to \langle x , y \rangle ,\quad \forall y\in H

weak의 w를 따서 다음과 같이 표기하기도 한다.

xn→wx x_{n} \overset{\text{w}}{\to} x

혹은

xn→xweakly x_{n} \to x \quad \text{weakly}

라고 표기한다.

설명

약 수렴이 아님을 강조하기 위해 기존의 수렴한다는 용어를 강하게 수렴한다고 쓰기도 한다. 즉,

xn converges to x= xn converges in norm to x= xn converges strongly to x \begin{align*} &x_{n} \text{ converges to } x \\ =\ & x_{n} \text{ converges in norm to } x \\ =\ & x_{n} \text{ converges strongly to } x \end{align*}

한편 약 수렴이라는 명명은 실제로 약 수렴이 수렴을 보장하지 못하기 때문이다. 반대로 놈 수렴은 거리공간에서의 수렴과 사실상 같기 때문에 많은 경우에서 놈 수렴과 수렴을 엄밀하게 구분해서 사용하지 않는다. 놈 공간에서는 거리를 다음과 같이 정의할 수 있다.

d(x,y):=∥x−y∥,x,y∈H d(x,y):=\left\| x-y \right\|,\quad x,y\in H

그러면 lim⁡n→∞xn=x\lim \limits_{n \to \infty}x_{n}=x을 만족하는 {xn}\left\{ x_{n} \right\}에 대해서

lim⁡n→∞d(xn,y)=d(xn,y)  ⟺  lim⁡n→∞∥xn−y∥=∥x−y∥ \lim \limits_{n \to \infty} d(x_{n},y)=d(x_{n},y) \iff \lim \limits_{n \to \infty} \left\| x_{n}-y \right\| =\left\| x-y \right\|

가 성립한다. 하지만 내적의 경우에는 성립하지 않음을 알 수 있다. 코시-슈바르츠 부등식에 의해 다음의 식을 얻는다.

∣⟨xn,y⟩∣≤∥xn∥∥y∥ \left| \left\langle x_{n} , y \right\rangle \right| \le \left\| x_{n} \right\| \left\| y \right\|

따라서

lim⁡n→∞∥xn−x∥=0  ⟹    ̸ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣  ⟸  lim⁡n→∞⟨xn−x,y⟩=0, ∀y∈H \lim \limits_{n \to \infty} \left\| x_{n}-x \right\|=0 \begin{array}{c} \implies \\ \ \ \not \!\!\!\!\impliedby \end{array} \lim \limits_{n \to \infty} \left\langle x_{n}-x,y \right\rangle=0,\ \forall y\in H

임을 알 수 있다.

xn→x  ⟹  xn⇀x x_{n} \to x \implies x_{n} \rightharpoonup x

증명

xn→xx_{n} \to x라고 가정하자. 그러면 코시-슈바르츠 부등식에 의해,

∣⟨xn,y⟩−⟨x,y⟩∣=∣⟨xn−x,y⟩∣≤∥xn−x∥∥y∥ \begin{align*} \left| \langle x_{n},y \rangle -\langle x,y \rangle \right| &= \left| \langle x_{n}-x, y \rangle \right| \\ & \le \left\| x_{n}-x \right\| \left\| y \right\| \end{align*}

lim⁡n→∞∥xn−x∥=0\lim \limits_{n\to\infty} \left\| x_{n} -x \right\|=0이라고 가정했으므로,

lim⁡n→∞∣⟨xn,y⟩−⟨x,y⟩∣=lim⁡n→∞∥xn−x∥∥y∥=0 \lim \limits_{n\to\infty} \left| \langle x_{n},y \rangle -\langle x,y \rangle \right| =\lim \limits_{n\to\infty} \left\| x_{n}-x \right\| \left\| y \right\|=0

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