📂푸리에해석

디랙 델타 함수의 푸리에 변환

공식

함수 $f(x)$의 푸리에변환을 $\hat{f}(\xi) = \mathcal{F}[f] (x) = \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i \xi x}dx$라고 하자. 디랙 델타 함수 $\delta (x)$의 푸리에 변환은 다음과 같다.

$$\hat{\delta}(\xi) = \mathcal{F}[\delta] (\xi) = 1$$

$\delta (x - y)$의 푸리에 변환은

$$\mathcal{F}[\delta (\cdot - y)] (\xi) = e^{-i\xi y}$$

설명

푸리에 변환을 어떻게 정의하느냐에 따라서 앞의 상수는 $1$ 혹은 $\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}$ 등이 될 수 있다.

증명

델타 함수의 성질 $f(x_{0}) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta (x - x_{0})dx$에 의해,

$$\begin{align*} \mathcal{F}[\delta] (\xi) &= \int_{-\infty}^{\infty} \delta (x)e^{-i\xi x}dx \\ &= e^{-i\xi x}|_{x=0} \\ &=1 \end{align*}$$

$$\begin{align*} \mathcal{F}[\delta (\cdot - y)] (\xi) &= \int_{-\infty}^{\infty} \delta (x-y)e^{-i\xi x}dx \\ &= e^{-i\xi x}|_{x=y} \\ &= e^{-i\xi y} \end{align*}$$

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