📂초함수론

초함수로 엄밀하게 정의되는 디랙 델타 함수

정의¹

테스트 함수 공간 $\mathcal{D}(\mathbb{R}^{n})$의 범함수 $\delta_{a} : \mathcal{D} \to \mathbb{C}$를 아래와 같이 정의하고 디랙 델타 함수라 부르자.

$$ \delta_{a}(\phi):=\phi (a) $$

그러면 디랙 델타 함수는 초함수가 된다. $a=0$이면 다음과 같이 간단히 나타낸다.

$$ \delta=\delta_{0} $$

설명

발산하는 값을 가지고 있어 함수가 아니지만 대충 함수라고 두고 썼던 디랙 델타 함수가 위의 정의에 의해 엄밀하게 정의되었다.

$$ \delta_{a} (\phi) = \int \delta (x-a)\phi (x)dx=\phi (a) $$

다만 국소 적분 가능한 함수로 정의될 수 없기 때문에 정칙 초함수는 아니다. 기존의 디랙 델타 함수와의 혼동을 막고자 초함수로서의 델타 함수는 델타 초함수라고 부르겠다.

증명

• Part 1. 선형성

  $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$, $\phi, \psi \in \mathcal{D}$에 대해서

  $$ \begin{align*} \delta_{a}(\alpha \phi + \beta \psi) &= (\alpha \phi+\beta\psi)(a) \\ &=\alpha \psi (a) +\beta \psi (a) \\ &= \alpha\delta_{a}+\beta \delta (a) \end{align*} $$ 이므로 델타 초함수는 선형이다.

• Part 2. 연속성

  $\phi_{j} \to \phi \text{ in } \mathcal{D}$라고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다.

  $$ \begin{align*} \left| \delta_{a}(\phi _{j}) -\delta_{a}(\phi) \right| &= \left| \phi_{j}(a)-\phi (a)\right| \end{align*} $$

  $\phi_{j} \to \phi \text{ in } \mathcal{D}$ 이면 $\lim \limits_{j \to \infty}\left| \phi_{j}(a)-\phi (a) \right|=0$이므로 $\delta_{a}(\phi_{j}) \to \delta_{a}(\phi)$이다.

$\delta_{a}$가 선형이고 연속이므로 초함수이다.

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