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강제 조화 진동과 공명 진동수

강제 조화 진동¹

물체가 용수철에 매달려 진동하는 것과 같은 운동을 조화 운동이라 한다. 이때 공기저항 등의 마찰력을 포함하는 다른 외력은 존재하지 않고 오로지 용수철 상수 $k$로 인한 복원력만 작용하는 경우를 단순 조화 진동이라 부른다. 마찰력과 같이 속도에 비례하는 외력이 존재하면 감쇠 조화 진동이라 부른다. 여기에 외부에서 주기적인 힘, 구동력^{driving force}이 계에 작용할 경우 강제 조화 진동^{forced harmonic oscillation} 이라 하고 운동 방정식은 아래와 같다.

$$\begin{equation} m\ddot{x}= -kx -c\dot{x} +F_{0}\cos \omega t \end{equation}$$

• $-c\dot{x}$ : 감쇠항, 속도에 비례하는 외력 (마찰력 등)
• $F_{0}\cos \omega t$ : 주기적인 외력

강제 진동 시스템에서는 공명^resonance이라는 특이한 현상이 일어난다. 구동력의 진폭 $F_{0}$와 무관하게, 심지어는 고정되어 있어도, 구동력의 진동수인 구동 진동수 $\omega$가 계의 고유 진동수 $\omega_{0}$와 비슷할 때 진폭이 커지는 것을 말한다. 이를 쉽게 이해하는 좋은 예로 그네가 있다. 혼자 그네를 탈 때 1초간 왔다갔다한 횟수가 계의 고유 진동수이다. 만약 뒤에서 밀어주는 사람이 있다면 밀어주는 힘이 구동력이며 1초간 밀어주는 횟수가 구동 진동수가 될 것이다. 다들 경험적으로 잘 알고 있듯이 그네가 가장 뒤로 갔다가 앞으로 나가기 시작할 때 밀어주면 제일 멀리 나간다. 이를 역학적으로 설명하면 ‘구동 진동수가 고유 진동수와 비슷할 수록 진폭이 커지는 현상인 공명 현상이 일어난다’가 된다. 이제 강제 조화 진동에서 감쇠가 있는 경우와 없는 경우로 나누어서 살펴보자.

감쇠가 없는 경우

감쇠항이 없으면 $(1)$은 아래와 같다.

$$\begin{equation} m\ddot{x} +kx =F_{0}\cos \omega t \label{eq2} \end{equation}$$

이런 미분 방정식의 해는 $\cos$으로 나타난다. 혹은 ‘어떤 함수를 두 번 미분 한 것과 그 함수를 더해서 코사인이 나오게 하려면 그 함수가 코사인이어여한다’고 단순하게 생각해도 좋다. 따라서 해를 아래와 같다고 해보자.

$$x(t)=A \cos (\omega t -\phi)$$

이를 $(2)$에 대입하면 다음과 같다.

$$\begin{align*} &&- m\omega^{2}A \cos (\omega t -\phi)+kA\cos (\omega t - \phi)&=F_{0}\cos \omega t \\ \implies && (k- m\omega^{2})A \cos (\omega t -\phi)&=F_{0}\cos \omega t \end{align*}$$

이 식이 성립하려면 $\phi=0$, $\phi=\pi$이어야만 한다. 코사인 함수를 평행이동할 때 함숫값의 부호를 바꾸는 것을 포함하여 같은 모양이 나오게 하는 경우는 저 두 경우 밖에 없기 때문이다. 그러면 진폭 $A$는 다음과 같다.

$$A= \begin{cases} \dfrac{F_{0}/m}{{\omega_{0}}^{2}-\omega^{2}} & \phi=0,&\omega < \omega_{0} \\[1em] \dfrac{F_{0}/m}{\omega^{2}-{\omega_{0}}^{2}} & \phi=\pi,&\omega > \omega_{0} \end{cases}$$

이때 $\omega_{0}=\sqrt{k/m}$은 계의 고유 진동수이다. $\omega_{0}=4$, $F_{0}/m = 1$라고 두고 구동 진동수에 따른 진폭의 그래프를 그려보면 아래와 같다.

감쇠가 있는 경우

속도 즉, 한 번 미분한 항이 식에 포함됐기 때문에 구동력을 지수함수로 표현하는 것이 좋다. 진폭이 $F_{0}$, 진동수가 $\omega$인 진동을 지수함수로 표현하면 $F_{0}e^{i\omega t}$이므로 $1$은 다음과 같다.

$$\begin{equation} m\ddot{x}+c\dot{x}+kx = F_{0}e^{i\omega t} \label{eq3} \end{equation}$$

그러면 감쇠가 없는 경우에서와 마찬가지로 해를 아래와 같다고 해보자.

$$x(t)=A e^{i(\omega t-\phi)}$$

이를 $\eqref{eq3}$에 대입하면 아래의 식을 얻는다.

$$-m\omega ^{2}Ae^{i(\omega t -\phi)}+i\omega cAe^{i(\omega t -\phi)}+kAe^{i(\omega t - \phi)}=F_{0}e^{i \omega t}$$

양변에 $e^{-i (\omega t -\phi)}$를 곱하면 다음과 같다.

$$-m\omega ^{2}A+i\omega cA+kA=F_{0}e^{i \phi}=F_{0}(\cos \phi +i \sin \phi)$$

우변은 오일러 공식에 의해 성립한다. 위 식을 실수부분과 허수부분으로 나누어서 보면 다음과 같다.

$$\begin{equation} \begin{aligned} A(k-m\omega^{2}) = F_{0}\cos \phi \\ c\omega A = F_{0} \sin \phi \end{aligned} \label{eq4} \end{equation}$$

아래의 식을 위의 식으로 나누면 다음과 같이 위상 차이 $\phi$에 대한 조건을 얻는다.

$$\frac{c\omega}{k-m\omega ^{2}}=\tan \phi$$

또한 $\eqref{eq4}$에서 $\sin ^{2} \phi + \cos ^{2} \phi=1$임을 이용하면 아래의 식을 얻는다.

$$A^{2}(k-m \omega ^{2})^{2} + c^{2} \omega^{2} A^{2} =F_{0}^{2}$$ 진폭에 대해서 정리하면 다음과 같다.

$$\begin{align*} A(\omega) &= \frac{F_{0}}{\sqrt{(k-m \omega ^{2})^{2} + c^{2} \omega^{2}}} \\ &= \frac{F_{0}/m}{\sqrt{(k/m- \omega ^{2})^{2} + c^{2} \omega^{2}/m^{2}}} \\ &= \frac{F_{0}/m}{\sqrt{({\omega_{0}}^{2}- \omega ^{2})^{2} + 4\gamma ^{2}\omega^{2}}} \end{align*}$$

이때 $\omega _{0}$는 계의 고유 진동수, $\gamma=\frac{c}{2m}$은 감쇠 인자이다. 이제 공명이 일어나는 진동수를 구해보자. 분모가 $0$일 때 $A(\omega)$가 발산하므로 다음과 같이 두자.

$$({\omega_{0}}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\gamma ^{2} \omega^{2} = 0$$

$0$은 미분해도 $0$이므로 위 식을 $\omega$에 대해서 미분하면 다음과 같다.

$$2({\omega_{0}}^{2}-\omega^{2})(-2\omega) + 8\gamma^{2}\omega=0$$

$\omega$에 대해서 정리하면 아래와 같다.

$${\omega_{r}}^{2}=\omega^{2}={\omega_{0}}^{2}-2\gamma^{2}$$

$\omega$가 위와 같을 때 $A(\omega)$가 발산하는 공명이 일어나므로 이 진동수를 공명 진동수라고 하고 $\omega_{r}$로 표기한다. $r$은 resonance에서 따왔다. 감쇠 인자 $\gamma$가 작으면 작을수록 공명 진동수는 고유 진동수 $\omega_{0}$와 비슷해짐을 알 수 있다. $\omega_{0} = 2$일 때 $\gamma$의 값에 따른 진폭의 그래프는 아래와 같다. $\gamma$가 작아질 수록 그래프의 피크가 나타나는 점이 $2$에 가까워짐을 볼 수 있다.

같이보기

• 단순 조화 진동
• 감쇠 진동
• 다중 스프링 진동
• 결합 진동