감쇠 조화 진동

감쇠 조화 진동¹

$Damping\_fps30.gif$

용수철 상수를 $k$라 할 때, 단순 조화 진동자의 운동 방정식은 다음과 같다.

$$ m \ddot {x}+kx=0 $$

단순 조화 진동에서는 오로지 용수철에 의한 복원력만을 고려한다. 하지만 실제로는 마찰력 등의 다른 외력이 물체의 운동에 영향을 미치기 때문에 이를 무시할 수는 없다. 따라서 속도에 비례해서 작용하는 마찰력이 있다고 가정해보자. 이러한 힘을 제동력^{retarding force}라 한다. 제동력이 작용하는 진자의 운동을 감쇠 조화 진동^{damped harmonic oscillation}이라 한다. 구체적인 예로는 공기저항 등이 있다. 제동력이 $-c\dot{x}$와 같다고 하면 운동 방정식은 다음과 같다.

$$ \begin{align*} && m \ddot{x} +c \dot{x} +kx&=0 \\ \implies && \ddot{x} +\frac{c}{m} \dot{x} +\frac{k}{m}x&=0 \end{align*} $$

여기서 ${\omega_{0}}^{2}=\frac{k}{m}$으로 치환하고, $\gamma = \frac{c}{2m}$라고 하자. 이때 $\omega_{0}$를 고유각진동수, $\gamma $를 감쇠 인자^{damping factor}라고 부른다. 그러면 운동 방정식은 아래와 같다.

$$ \ddot{x} + 2\gamma \dot{x} + {\omega_{0}} ^{2} x=0 $$

위와 같은 미분 방정식은 미분 연산자 $D:=\frac{ d }{ d t}$를 이용하여 쉽게 풀 수 있다. 미분 연산자로 위의 운동 방정식에 적용하면 아래와 같다.

$$ \begin{align*} && D^{2}x + 2\gamma D x + {\omega_{0}} ^{2} x &=0 \\ \implies && \left( D^{2} +2\gamma D + {\omega_{0}} ^{2} \right)x &=0 \end{align*} $$

따라서 $D^{2}+2\gamma D +{\omega_{0}}^{2}=0$을 풀면 된다. 이 방정식의 해는 근의 공식에 의해 아래와 같다.

$$ D=-\gamma \pm \sqrt{\gamma ^{2} -{\omega_{0}} ^{2} } $$

따라서

$$ Dx = \left( -\gamma \pm \sqrt{\gamma ^{2} -{\omega_{0}} ^{2}} \right)x $$

이고 이는 간단한 1계 미분 방정식이므로 해는 아래와 같이 구할 수 있다.

$$ \begin{equation} x(t)=Ae^{(-\gamma + \sqrt{\gamma ^{2} -{\omega_{0}}^{2}})t }+Be^{(-\gamma - \sqrt{\gamma ^{2} -{\omega_{0}}^{2}})t } \label{eq1} \end{equation} $$

이때 $A$, $B$는 상수이다. 지수에 루트가 포함되어 있으므로 위 식의 그래프는 $\gamma ^{2}-{\omega_{0}}^{2}$의 값에 따라서 달라진다.

과다감쇠^overdamping

$$ \gamma ^{2} - {\omega_{0}}^{2}>0 $$

평형점으로부터 용수철이 달린 물체를 당겼다가 놓았을 때, 물체는 평형점으로 돌아가지만 감쇠력이 강해서 위 그림과 같이 진동은 일어나지 않는다.

임계감쇠^{critical damping}

$$ {\gamma} ^{2} -{\omega_{0}}^{2}=0 $$

이 경우 $\eqref{eq1}$에서 표현한 두 해가 같다. 따라서 두번째 해를 구해주어야하며 아래와 같이 알려져있다.

$$ x(t)=Ae^{-\gamma t} +Bte^{-\gamma t} $$

과다감쇠와 마찬가지로 진동은 일어나지 않지만 과다감쇠에 비해서 아주 빠른 속도로 평형점 근처까지 도달함을 알 수 있다.

미급감쇠^underdamping

$$ \gamma^{2} -{\omega_{0}}^{2} <0 $$

식을 간단히 하기 위해 $i\omega_{d}=\sqrt{\gamma^{2} - {\omega_{0}} ^{2}}$라고 하자. d는 damped의 앞글자에서 따왔다. 그러면 운동 방정식은 다음과 같다.

$$ x(t) = e^{-\gamma t}\left( A e^{i\omega_{d}t} + Be^{-i\omega_{d}t} \right) $$

이때 위치 $x$는 실수여야 하므로 $x^{\ast}(t)=x(t)$를 만족해야한다. $^{\ast}$는 켤레 복소수를 의미한다. 이로부터 아래의 조건을 얻는다.

$$ Ae^{i\omega_{d}t}+Be^{-i\omega_{d}t}=A^{\ast}e^{-i\omega_{d}t}+B^{\ast}e^{i\omega_{d}t} \implies B=A^{\ast} $$

따라서 운동 방정식은 다음과 같다.

$$ x(t) = e^{-\gamma t}\left( A e^{i\omega_{d}t} + A^{\ast}e^{-i\omega_{d}t} \right) $$

그리고 $A=a+ib$라고 두면 아래의 식이 성립한다.

$$ x(t) = e^{-\gamma t}\left[ a\left( e^{i\omega_{d}t}+e^{-i\omega_{d}t}\right) + ib\left( e^{i\omega_{d}t}-e^{-i\omega_{d}t}\right) \right] $$

오일러 공식을 적용하면 다음과 같다.

$$ x(t) = e^{-\gamma t}\left[ 2a\cos (\omega_{d}t)-2b\sin (\omega_{d}t) \right] $$

그러면 삼각함수의 덧셈정리에 의해, 어떤 실수 $A$, $\phi_{0}$에 대해서 아래의 식이 성립한다.

$$ x(t)=e^{-\gamma t}A \cos(\omega_{d}t+\phi_{0}) $$

$e^{-\gamma t}$에 의해서 그래프의 크기는 지수적으로 감소하면서, 앞의 두 경우와는 달리 $\cos$이 포함되기 때문에 진동을 한다.

시뮬레이션

감쇠 조화 진동자의 경우 진동수와 감쇠 인자의 차이에 따라 과다감쇠, 임계감쇠, 미급감쇠로 나뉘어진다. 각각의 상황에서 진동자가 어떻게 움직이는지 시각적으로 볼 수 있다면 이를 이해하는데 큰 도움이 된다. 줄리아에서는 단순히 그래프를 그리는 것을 넘어서 굉장히 쉽게 gif파일로 만들 수 있다. 다음은 감쇠 조화 진동자 움짤을 만들고 저장하는 코드와 실제 실행 화면이다.

using Plots

O_γ=3
O_ω=1
function Overdamping(x)
    0.5exp((-O_γ+sqrt(O_γ^2-O_ω^2))*x)+0.5exp((-O_γ-sqrt(O_γ^2-O_ω^2))*x)
end

C_γ=1
C_ω=1
function Criticaldamping(x)
    exp(-C_γ*x)+x*exp(-C_γ*x)
end

U_γ=1
U_γ=U_γ^2
U_ω=5
U_ω=U_ω^2
function Underdamping(x)
    real(exp.(-U_γ*x).*cos.(1im*sqrt(Complex(U_γ-U_ω))*x))
end

p = plot([Overdamping, Criticaldamping, Underdamping], zeros(0),label=["Overdamping" "Criticaldamping" "Underdamping"], xlim=(0,15), ylim=(-0.7,1.2))
anim = Animation()
for x = range(0, stop=15, length = 200)
    push!(p, x, Float64[Overdamping(x), Criticaldamping(x), Underdamping(x)])
    frame(anim)
end
gif(anim,"Damping_fps30.gif",fps=30)

같이보기

Grant R. Fowles and George L. Cassiday, Analytical Mechanics (7th Edition, 2005), p96-100 ↩︎

감쇠 조화 진동