📂동역학

더핑 오실레이터

더핑 방정식¹

$$ \ddot{x} + \delta \dot{x} + \alpha x + \beta x^{3} = \gamma \cos \left( \omega t \right) $$

변수

• $t$: 시간을 나타낸다.
• $x$: $1$차원 상에서 (이를 테면 입자의) 위치를 나타낸다.
• $\dot{x}$: (입자의) 속도 를 나타낸다
• $\ddot{x}$: (입자의) 가속도 를 나타낸다.

파라미터

• $\delta$: 감쇠(Damping) 를 제어하며, 마찰(Friction)과 비슷한 역할을 한다.
• $\alpha$: 강성(Stiffness) 를 제어하며, 용수철 상수와 비슷하게 퍼텐셜 에너지에 영향을 미친다.
• $\beta$ : 비선형적인 복원력(Restoring Force) 을 제어하며, $\beta = 0$ 일 때는 강제 감쇠 조화 진동자를 묘사한다.
• $\gamma$ : 구동력(Driving Force)의 크기를 제어하며, $\gamma = 0$ 일 때는 자율 시스템이 되고 Unforced Duffing Oscillator라 불린다.
• $\omega$ : 각진동수(Angular Frequency) 를 제어한다.

고전역학적 의미

더핑 오실레이터는 게오르그 더핑^{georg Duffing} 의 이름이 붙은 비자율 시스템으로, 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지가 있는 객체의 진동을 나타낸다. $x$ 는 이를테면 매달아놓은 용수철의 길이가 될 수 있으며, 다양한 파라미터가 있는만큼 그보다는 더 복잡한 상황을 묘사할 수 있다.

더핑 방정식은 그 물리적인 의미에 대해 고전 역학(Mechanics)적인 관심을 가질 때의 형태다. 수리적인 성질에 관심을 가지는 동역학(Dynamics)에서는 다음과 같이 연립 상미분방정식 꼴로 나타내는 것을 선호한다.

더핑 오실레이터 시스템²

$$ \begin{align*} \dot{x} =& y \\ \dot{y} =& \gamma \cos ( \omega t ) - \alpha x - \beta x^{3} - \delta y \end{align*} $$

변수

• $x(t)$: $1$차원 상에서 (이를 테면 입자의) 위치를 나타낸다.
• $y(t)$: (입자의) 속도 를 나타낸다

파라미터

• $\delta$: 감쇠(Damping) 를 제어하며, 마찰(Friction)과 비슷한 역할을 한다.
• $\alpha$: 강성(Stiffness) 를 제어하며, 용수철 상수와 비슷하게 퍼텐셜 에너지에 영향을 미친다.

$\beta$ : 비선형적인 복원력(Restoring Force) 을 제어하며, $\beta = 0$ 일 때는 강제 감쇠 조화 진동자를 묘사한다.

• $\gamma$ : 구동력(Driving Force)의 크기를 제어하며, $\gamma = 0$ 일 때는 자율 시스템이 되고 Unforced Duffing Oscillator라 불린다.
• $\omega$ : 각진동수(Angular Frequency) 를 제어한다.

동역학적 분석

앞서 언급한것처럼 $\gamma = 0$ 이면 더핑 오실레이터는 자율 시스템이 되며, 교과서적인 예시로는 $\alpha = -1$, $\beta = 1$ 와 같이 두어 다음과 같이 Unforced Damped Duffing Oscillator로 단순화한 꼴을 즐겨 쓴다. $$ \begin{align*} \dot{x} =& y \\ \dot{y} =& x - x^{3} - \delta y \end{align*} $$ 동역학에서는 이러한 미분방정식의 풀이 자체에는 그다지 관심이 없다. 오히려 쉽게 풀어진다면 바로 그 이유 때문에 동역학의 툴까지 사용해서 분석할 가치를 느끼지 못하며, 남겨둔 파라미터 $\delta$ 의 변화에 따라 시스템 자체가 어떻게 달라지는지에 흥미를 둔다. 역학(Mechanics)적으로 이 시스템이 의미를 가지려면 감쇠를 나타내는 $\delta$ 가 음수일 수는 없으므로 $$ \begin{align*} \dot{x} =& y \\ \dot{y} =& x - x^{3} - \delta y \qquad , \delta \ge 0 \end{align*} $$ 이어야 한다. 자명하게도 이 시스템의 평형점 $(\dot{x} , \dot{y}) = (0,0)$ 은 다음과 같이 세 개가 주어진다. $$ (x,y) = (0,0) , (\pm 1 , 0) $$ 이와 같이 동역학적으로 이 시스템에 대해 분석하기 위해서는 식을 비선형 함수 $f,g$ 로 나타낼 필요가 있다. $$ \begin{align*} \dot{x} =& f(x,y) \\ \dot{y} =& g(x,y ; \delta) \qquad , \delta \ge 0 \end{align*} $$ 이는 벡터 표현으로 $\mathbb{x} ' = \mathbb{f} (\mathbb{x})$, 기호 상의 혼동이 없다면 심지어 그냥 $\dot{x} = f(x)$ 과 같이 쓸 수도 있다. 물론 이 경우엔 $x,y$ 가 등장해서 매우 헷갈리기 때문에 어떤 비선형 함수 $\mathbb{f} : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}$ 에 대해 $\mathbb{x} = (x,y)$ 가 $\mathbb{x} ' = \mathbb{f} (\mathbb{x})$ 와 같이 나타난다고 정확하게 명시하도록 하자. 이러한 표현을 사용할 때, 시스템의 자코비안은 다음과 같이 구해진다. $$ D \mathbb{f} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 - 3 x^{2} & - \delta \end{bmatrix} $$ 이제 세개의 평형점 $(0,0) , (\pm 1 , 0)$ 에 대해서 랴푸노프 안정성을 알고싶다면 다음과 같이 하나씩 대입해보면 된다. $$ D \mathbb{f} (0,0) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & - \delta \end{bmatrix} \\ D \mathbb{f} (\pm1,0) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & - \delta \end{bmatrix} $$ 이제 이 행렬들의 아이겐 밸류들을 구해서, $\delta$ 에 따라 달라지는 실수부를 보면 고정점의 안정성을 알 수 있게 된다. 동역학라는 분야는 수학에서 하나의 분과라고 하기엔 정말 많은 시스템을 다루지만, 그 해석적인 연구는 대부분이 이 툴에서 크게 벗어나지 못할정도로 정석적인 방법이다.