📂해석개론

멱급수의 미분

정리¹

멱급수 $\sum\limits_{n = 0}^{\infty} c_{n}x^{n}$이 $\left| x \right| \lt R$에서 수렴한다고 하자. 그리고 함수 $f$를 다음과 같이 정의하자.

$$ f(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} c_{n}x^{n} \qquad \left| x \right| \lt R \tag{1} $$

그러면 함수 $f$는 $(-R, R)$에서 연속이며 미분가능하고 도함수는 다음과 같다.

$$ f^{\prime}(x) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} nc_{n}x^{n-1} \qquad \left| x \right| \lt R \tag{2} $$

또한 $f$와 $f^{\prime}$의 수렴반경은 같다.

설명

$(2)$는 마치 $(1)$의 무한한 항을 항별로 미분한 것과 같은 결과를 준다. 즉 멱급수를 미분할 때 다항함수를 미분하는 것처럼 해도 된다는 말이다.

$$ \dfrac{d}{dx}\left[ \sum\limits_{n = 0}^{\infty} c_{n}(x - a)^{n} \right] = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{d}{dx} c_{n}(x - a)^{n} $$

주의해야 할 것은 $f^{\prime}$의 수렴반경이 $f$와 같다는 것이다. 이는 $f$와 $f^{\prime}$의 수렴구간이 같다는 뜻은 아니며, 구간의 끝 점에서는 수렴성이 달라질 수 있다.

증명

$\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{n} = 1$이므로,

$$ \limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n |c_{n}|} = \limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_{n}|} $$

따라서 급수 $\sum\limits_{n = 0}^{\infty} nc_{n}x^{n-1}$의 수렴반경은 $f$와 같다. 그러면 양수 $\epsilon \gt 0$에 대해서, $(2)$의 급수는 $[-R + \epsilon, R - \epsilon]$에서 균등수렴한다.

균등수렴과 미분가능성

구간 $[a, b]$에서 미분가능한 함수들의 수열 $\left\{ f_{n} : f_{n} \text{ is differentiable on } [a, b] \right\}$이 점 $x_{0} \in [a, b]$에서 점별 수렴한다고 하자. 만약 $\left\{ f_{n}^{\prime} \right\}$이 구간 $[a, b]$에서 균등수렴하면, $\left\{ f_{n} \right\}$도 구간 $[a, b]$에서 미분가능한 함수 $f$로 균등수렴하고 다음이 성립한다.

$$ \dfrac{d}{dx} \lim\limits_{n \to \infty} f_{n} (x) = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{d}{dx} f_{n} (x) \quad a \le x \le b $$

$f_{N}(x) = \sum\limits_{n = 0}^{N} c_{n}x^{n}$이라 두고, $f_{N}^{\prime}(x) = \sum\limits_{n = 1}^{N} nc_{n} x^{n-1}$이라 두면 위 보조정리의 조건을 만족한다. 따라서, $ \left| x \right| \lt R$에서,

$$ \dfrac{df}{dx} = \dfrac{d}{dx} \lim\limits_{N \to \infty} \sum\limits_{n = 0}^{N}c_{n}x^{n} = \lim\limits_{N \to \infty} \dfrac{d}{dx} \sum\limits_{n = 0}^{N}c_{n}x^{n} = \lim\limits_{N \to \infty} \sum\limits_{n = 1}^{N}nc_{n}x^{n-1} = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}nc_{n}x^{n-1} $$

또한 미분가능하면 연속이므로 $f$는 연속이다.

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